, тобто мінімальна порція випромінюваної енергії E h - PDF

Description
Передумови виникнення квантової механіки. Теорії Планка та Енщтейна. Постулати Бора. Хвиля де Бройля. Існували рівняння руху Ньютона та Лагранжа, теорія електромагнітних хвиль Максквела, термодинаміка

Please download to get full document.

View again

of 206
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Short Stories

Publish on:

Views: 35 | Pages: 206

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
Передумови виникнення квантової механіки. Теорії Планка та Енщтейна. Постулати Бора. Хвиля де Бройля. Існували рівняння руху Ньютона та Лагранжа, теорія електромагнітних хвиль Максквела, термодинаміка та стат фізика. Існували явища, які неможливо було пояснити: а Природа світла воно веде себе в різних умовах або як потік корпускул, або як електромагнітна хвиля. Б Існувало декілька моделей будови атома пудингова модель Томпсона та модель Резерфорда, правильність якої була підтверджена на дослідах. В моделі Резерфорда для стійкості атома необхідно було, щоб електрон обертався навколо ядра, але тут теж виявився ряд парадоксів : оскільки 3 z / = z /, тобто, якщо радіуси руху частинок можуть бути будьякі, то будь якими можуть бути і частоти, хоча насправді в спектрі випромінювання атомів спостерігалися лише певні дискретні набори частот; крім того, під час руху частинка повинна була б постійно випромінювати енергію і впала б внаслідок цього на ядро. Вирішення цих проблем було вперше запропоноване Планком, який припустив, що випромінювання та поглинання електромагнітного випромінювання може відбуватися лише порціями hf h, тобто мінімальна порція випромінюваної енергії h h /, де h=6.6-7 ерг с. Згідно моделі Планка в речовині існують резонатори, що містять енергію та віддають її або цілком, абр взагалі не віддають, а далі рухаються, як звичайна хвиля. Розвиток цієї теорії дав Ейнштейн, який сказав, що порції енергії не лише випромінюються, а й розповсюджуються як єдине ціле. Такі порції називаються фотонами, і їм можна приписати певний імпульс. Енергія частинки K_ оскільки для фотона =, то, де хвильове число. Досліди Франка та Герца по підтвердженню теорії Планка призвели до появи моделі атома Бора, яка базувалася на моделі Резерфорда та постулатах Бора:, .В атомах існують певні стаціонарні стани електронів з енергіями Е...Е м, в яких електрони не випромінюють та не поглинають енергію..енергія поглинається та в ипромінюється лише при переходах електронів між цими стаціонарними станами, причому частота випромінюваного кванта світла / яких моменти імпульсу. Стаціонарними будуть лише ті орбіти, для V, =,,... Радіус -ої орбіти буде рівний z. Можна знайти частоту випромінювання при переході зрівня на рівень : енергія T V V / z /, V / формулу для стаціонарного радіусу отримаємо підставивши сюди V z / = z z 3 = h, вцій формулі множник, що стоїть до дужки називається сталою Рідберга. Де Бройль запропонував приписувати корпускулам хвильові властивості, тобто, якщо / тіло можна розглядати як хвилю довжиною функцією. v, будь-яке тверде, та хвильовою K_ .Статистични й характер явищ мікросвіту. Імовірнісна інтерпретація хвильової функції. Плоска хвиля не несе інформації, для передачі інформації слід формувати пакет плоских хвиль. Короткий пакет веде себе як частинка, але для коротких пакетів характерна інтерференція широкого спектру хвиль, його можна завжди розщепити по окремим частотам, але ніколи не вдавалося спостерігати лише певну частоту частинки. Ще одним недоліком такої моделі є явище дифракції та пов язане з ним явище дисперсії. Якщо фазова швидкість пакету не залежить від частоти, то пакет не змінюється, але за наявності дисперсії пакет з часом повинен розпливатися.,,,, A / /, повна енергія частинки, де / = / V / / / / / = фазова швидкість f = f. При спостереженні явищ інтерференції виявилося, що вони спостерігаються за наявності великої кількості частинок аналогічно і для фотонів і зникають, коли кількість частинок дуже мала. Тобто хвильові властивості мікрочастинок проявляються в статистичних закономірностях. Макс Борн дав імовірнісну трактовку хвильової функції її хвильовий зміст полягає в тому, що інтенсивність хвильової функції пропорційна імовірності знаходження частинки в даній області d dv простору: d/ dv = , де dω зазначена вище імовірність. Тобто фактично інтенсивність хвильової функції це густина знаходження частинки у даній точці простору. Таким чином, знаючи імовірнісний зміст хвильової функції ми можемо знайти середнє значення будь-якої фізичної величини, що описує 3 3 F стан частинки: F d F d F d 3 K_ 3. Треба також зазначити, що в процесі руху частинка може описуватися великою кількістю хвильових функцій, тому для системи справджується принцип суперпозиції якщо система знаходиться в даному місці простору в стані з хвильовою функцією ψ чи ψ чи ψ м, то вона може знаходитися в стані, який є когерентною суперпозицією хвильових функцій. K_ 3 Рівняння Шредінгера як основа квантового опису мікросвіту Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояния квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде H, где H оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U оператор H действительный, и есть сумма операторов H U кинетической и потенциальной энергии частицы Вследствие наличия мнимой единицы, уравнение имеет периодические решения, и потому называется волновым уравнением Шредингера, а его решения волновой функцией. Уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике, так как позволяет получить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. H Уравнение удовлетворяется при волновой функцией, описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса и энергии. Каждая такая функция плоская волна. Частота этой волны равна волновой вектор /. Соответствующую длину волны 5 K_ /, а ее / называют де-бройлевской длиной волны частицы. В общем случае справедливость уравнения доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения. Покажем, что нормировка волновой ф-ции со временем H H сохраняется. Из, 6 интегрируем по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность d H d получаем d 5 Если в 6 подставить явное выражение для оператора Гамильтона, то получим уравнение непрерывности dvj, где - плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства, а j вектор плотности тока вероятности. Загальні принципи відшукання його розвязків, які мають фізичний зміст Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле U,y,z имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде. Непрерывность требует, чтобы на границе этой области обращалось в нуль; производные же от в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок. 6 K_ Вільний рух частинок 7 K_ Одномірний рух та його властивості Если потенциальная энергия частицы зависит только от одной координаты х, то волновую функцию можно искать в виде произведения функции от у, z на функцию только от х. Из них первая определяется уравнением Шредингера свободного движения, а вторая одномерным уравнением Шредингера d d [ U ] 7 Прежде всего, покажем, что в одномерной задаче все энергетические уровни дискретного спектра не вырождены. Для дока- зательства предположим противное, и пусть и две различные собственные функции, соответствующие одному и тому же значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому же уравнению 7, то имеем. Интегрируя находим Поскольку на бесконечности отсюда U ; или os, то константа равна, Интегрируя еще раз получим os - по сути одинаковые функции. Будем считать, что функция U х стремится при к конечным пределам но отнюдь не должна быть монотонной функцией. Предел U U, U U примем за начало отсчета энергии т. е. положим и будем считать, что U . Дискретный спектр лежит в области таких значений энергии, при которых частица не может уйти на бесконечность; для этого энергия должна быть меньше обоих пределов U т. е. должна быть отрицательной : ; 8 K_ Рассмотрим теперь область положительных значений энергии, меньших чем U : U В этой области спектр будет непрерывным, а движение частицы в соответствующих стационарных состояниях инфинитным, причем частица уходит в сторону. Легко видеть, что все собственные значения энергии в этой части спектра тоже не вырождены. Для этого достаточно заметить, что для приведенного выше для дискретного спектра доказательства достаточно, чтобы функции и обращались в нуль хотя бы на одной из бесконечностей в данном случае они обращаются в нуль при. Наконец при U спектр будет непрерывным, а движение инфинитным в обе стороны. В этой части спектра все уровни двукратно вырождены. Это следует из того, что соответствующие волновые функции определяются уравнением второго порядка,, причем оба независимых решения этого уравнения удовлетворяют должным условиям на бесконечности между тем как, например, в предыдущем случае одно из решений обращалось при в бесконечность и потому должно было быть отброшено. Асимптотический вид волновой функции при есть и аналогично для движущейся вправо, а член с. Член с ; соответствует частице - влево. 9 K_ 5 Приклади одномірного руху - рух в однорідному полі, випадок кусково-сталого потенціалу, потенціальні ями нескінченно великої, довільної та малої глибини. Потенціальна яма нескінченної глибини Потенціал U= при і нескінченність ззовні. Граничні умови. Загальний розв язок р-ня має вигляд косинусом. s ~ os. Умова виключає розв язок з з умови ; s ; Отже розв язок s ; ; знайшовши з умови нормування константу Потенціальна яма довільної або малої глибини В області в ямі маємо р-ня Шредінгера:, де В області поза ямою, де ; Розв язки цих р-нянь повинні співпадати на краях ями разом з першими похідними. Розв язок A нескінченності. Замість неперервності і U обертається на нуль на на межі ями, зрочно користуватися умовою неперервності і логарифмічної похідної: Розв язок шукаємо у вигляді s ; З умови неперервності знаходимо K_ g g U s s U або Виключаючи отримуємо s U трансцендентне р-ня Корені цього р- ня визначають енергетичні рівні межах від до / для =,, s в U ; g беремо для яких g 3 беремо для яких ями для якої U / Р-ня має один роз язок тільки один рівень ; Для парного маємо os ;, а для непарного маємо s ;. В частинному випадку для мілкої маємо і р-ня 3 не має роз язків.. Таким образом існує U U поблизу її верху. K_ Рух в однорідному полі Сила що діє на частинку у полі рівна F=, відповідний потенціал U=-F+os. Виберемо початок відліку так, щоб U=, тоді os=, відповідно U=-F. Р-ня Шредінгера має вигляд d d F ; Позначимо ня набуває вигляду де u os u du 3 3 F F / 3 ; тоді р-. Його роз язок A. ; Визначимо сталу нормування A за правилом нормування власних функції неперервного спектру A / F d / 3 / 6 / 3.. Після перетвореннь знаходимо Рух в кусково-неперервному потенціалі Кусково-неперервний потенціал описується кусково-неперервною фукцією, тобто функцією майже всюди неперервною за
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks