num_primjer_oscilacije_9.pdf

Description
Štap mase M=6kg i duljine L=4m, miruje oslonjen na oprugu krutosti k=200N/m. U jednom trenutku kuglica O vk B g mase m=2kg, udari u štap brzinom vk=0,5m/s. Sraz je plastičan. k L/2 L/2 Za nastalo

Please download to get full document.

View again

of 5
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Documents

Publish on:

Views: 2 | Pages: 5

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
  Štap mase  M=6kg   i duljine  L=4m , miruje oslonjen na oprugu krutosti k=200N/m . U jednom trenutku kuglica mase m=2kg, udari u štap brzinom v k  =0,5m/s . Sraz je  plastičan.  Za nastalo gibanje treba: a)   P omoću  zakona očuvanja mehaničke energije  odrediti diferencijalnu jed nadžbu kojom je opisano gibanje točke B na štapu .  b)   odrediti zakon gibanja točke B . c)   odrediti maksimalnu deformaciju opruge . d)   odrediti veličinu maksimalne brzine točke B.  e)   odrediti veličinu maksimalnog ubrzanja točke B.  O drediti veličine  pod c), d) i e) direktnim postupkom (ne koristiti zakon oscilacija). Rješenje:   Štap miruje u gravitacijskom polju te  postoji deformacija opruge. Sustav počinje gibanje zbog udara kuglice. Za vrijeme sraza javlja se impuls, što znači da dolazi do promjene količine gib anja, odnosno gibanje  počinje s nekom početnom brzinom. Sraz je plastičan, dakle kuglica se zalijepi za štap i nakon sraza giba se zajedno sa štapom . Masa sustava pov eć ava se za masu kuglice , zbog čega sustav počinje gibanje prema novom ravnotežnom položaj u, ali prolazi kroz taj položaj i  nastaju oscilacije oko tog ravnotežnog polož aja. Odredimo deformaciju opruge prije udara kuglice, odnosno prvi ravn otežni položaj štapa  bez kuglice. k  Mg 2 xk  Mg 2 xk  Mg  F 0 2 L F 2 L Mg 0 M  1 st 1o 1 st 1o1ooo O     ,   Štap nakon sraza sa kuglicom  počne gibanje  prema drugom ravnotežn om  položaj u, prolazi kroz taj položaj, te nastaju oscilacije po zakonu  x(t) , oko tog ravnotežnog položaja. Za vrijeme gibanja djeluju samo konzervativne sile te vrijedi zakon očuvanja mehaničke energije : const  E  E  E  E  E  E  E  E   pk  pk 2 pk 1 pk     )()()()( min,max,max,min, . c   0.5 x  st1   nedeformirano stanje t=0 ravnoteža prije udara kuglice (od M   g) ravnotež  ni  položaj    štapasa kuglicom ( Mg+mg)   x(t)  x max    x  st1   x  st2  v k   B g O ω  k  L/2  L/2 C    (2) (3)   (1)   v k   B g O k  L/2  L/2  Mg O  F  o   L/2  L/2 k  g m M 2  xk  g m M 02 Lk 2 L g m M 0 M  2 st 2o2o O )()()(     a) Ovaj zakon vrijedi i za bilo koji trenutak t   slobodnih oscilacija, te se koristi za definiranje diferencijalne  jednadžbe slobodnih oscilacija. const t  E t  E   pk     ))()((  Prije definiranja potencijalne energije m oramo na crtežu označiti odabranu plohu konstantnog potencijala za sve sile, te analizirati pripadne deformacije za elastične sile . Odabrana je ploha ravnotežno g  položaj a štapa sa kuglicom (2). K  inetičk  a energija sustava za neki trenutak t    određena je  pripadnom kutnom brzinom rotacije štapa i momentom tromosti mase. Potencijalna energija sustava sastoji se od potencijalne energije elastične sile , te žine štapa i kuglice. 0 x4k  x12m3 M 4 0 x x4k  x12m3 M 4 08 x x2k  x x2 12m3 M 4 21          Ova diferencijalna jednadžba može se napisati i pomoću vlastite frekvencije  . 2  30 4,472 /4 3( ) 20 ( ) 0 k  x x r s M m x t x t            b) Rješenje jednadžbe ili zakon oscilacija točke B štapa   oko ravnotežnog položaja  x  st2  i ovisi o uzroku oscilacija opisanom u tekstu zadatka, odnosno  položaju i brzini sustava u  početnom trenutku t=0 . t vt  xt  x  00    sincos)(  U trenutku t=0  u daljenost od ravnotežnog položaja  x  st2   vidimo na crtežu;   u ovom slučaju to je razlika prvog i drugog statičkog progiba, ili jednostavnije , to je samo progib od kuglice. Predznak se promatra u odnosu na označeni smjer  x(t).   m19620 x k mg 2 x x x 01 st 2 st 0 ,)(    Zbog plastičnog sraza kuglica se zalijepi za štap koji miruje u prvom ravnotežnom položaju, te nakon sraza nastavlja gibanje zajedno sa štapom. Otpor rotaciji određen je momentom tromosti mase štapa i kuglice , na os koja prolazi točkom O, i okomita je na ravninu crteža.   dt d ck 218 xk 2 xk  g m M k k 212 x g m M  x 12m3 M 4 21ck 214 x2 x2k 212 x g m M  L x L12m3 M 4 21const ck 212t  xk 212t  x g m M  Lt  x I 21const  E  E  2o222o222o222o2o22222o222o20 pk                )()()()( )()( )()()(    δ    F  el    (2) δ o2    x(t)/2  222O  L12m3 M 4 4 Lm ML31 I      Pri srazu čestica, količina gibanja prije i poslije sraza ostaje nepromjenjena, jer se promatra translacijsko gibanje. Pri srazu tijela i čestice bitno je   uočiti kakvo gibanje je moguće!   Ovaj se sustav nakon sraza može samo za rotirati oko nepomične točke O, kutnom brzinom ω O . Zbog toga se bez uklanjanja spoja i uvođenja reaktivnog impulsa ne može promatrati količina gibanja, te je jednostavnije analizirati moment količine gibanja (kinetički moment).    sm20vv m3 M 4 m6 v Lvk m3 M 4 L vm6  L12m3 M 4 2 Lvm I 2 Lvm K  K  0k 000k OO2k OOk  poslijeO prijeO /,)( ,,       Ovi početni uvjeti, određuju zakon oscilacija točke B štapa:   .sin)(cos)(sincos)( t m3 M 4 k 3m3 M 4k  12mvt m3 M 4 k 3k mg 2t  xt m3 M 4 k 3k 3m3 M 4 vm3 M 4 m6 t m3 M 4 k 3k mg 2t  x k k     t 4724044720t 472419620t  x  ,sin,,cos,)(    Maksimalna amplitud a oscilacija točke B:   m201230 A m3 M 4k  vm12k  g m4 A 2k 2222 ,)(   c) Maksimalna deformacija opruge m4930m3 M 4 vk 3 g k mk  g m M 2 A  Maxo2k 22o Maxo  ,)()( ,,    d) Maksimalna brzina dt t dxt v  )()(        sm902087740 m3 M 4 vm36 m3 M 4k   g m12vt 472420t 4724877406 0t v t m3 M 4 k 3m3 M 4 vm6 t m3 M 4 k 3m3 M 4 k 3k mg 2dt t dxt v 2222k 222 Maxk  /,,, )(,cos,,sin,)( cossin)()(     e)   Maksimalno ubrzanje   22232k 2222 Max3k   sm0246 48944092376 3 m3 M 4 vmk 108 m3 M 4  g m36 at 472489440t 47249243t a t m3 M 4 k 3m3 M 4 k 3vm6 t  m3 M 4 k 3m3 M 4 mg 6 dt t dvt a /,,, )(,sin,,cos.)( sin)(cos)()(    Direktno rješenje za max. brzinu i ubrzanje to čke B i max. deformacij u opruge Sustav tijekom oscilacija prolaz i maksimalnom brzinom kroz položaj stabilne ravnoteže , dakle u  položaju (2) potencijalna energija minimalna , a kinetička maksimalna . )()( min,max,  pk 2 pk   E  E  E  E      Za plohu const. potencijala odabrana je ploha ravnotežnog položaja štapa sa kuglicom (2). Izjednačimo mehaničku energiju u    početn om  položaj u (1) i  položaj u (2): 2 pk 1 pk   E  E  E  E   )()(     ck mg k 21 E ck mg  g m M k  21 I 21  21ok 1o22OO    )()( max,           m3 M 4k   g m12m3 M 4 vm36 vm3 M 4k   g m12m3 M 4 vm36 v Lv L12m3 M 4 21 E k  g m21m3 M 4 vm321k  Mg k mg 2k 21k  g mk 21k 21 E k  g mk  Mmg k 21 I 21 222k 22 B222k 22 B22 B22k 22k 221o1o 2221o2k 2221o2O2O   max,max,max,max,max, ...........................................................   U trenutku max. deformacije opruge mijenja se smjer gibanja štapa, odnosno vektor brzine mijenja  predznak, što znači da je u tom trenutku brzina jednaka nuli: v(x max  )=0 . Kinetička energija je minimalna u položaju (3), te je u tom položaju  maksimalna deform acija opruge što je ozn a čeno na grafu elastične sile . Izjednačimo mehaničku energiju u položaju (2) i položaju (3) :    c2k 2k  g m M 0c k  g m21 I 21 E  E  E  E  E  E  2o222o22O2Ok 2k 3 pk 2 pk    )()()( max,,        m493016 0m3 M 4k  vm3k  g mk  g m M k  g m M m3 M 4k  vm3k  g mk 21k  g m21 I 21 o2k 22222oo2o2k 2222222O2O .)(.......................................... max,max,      δ    F  el      (1) (2) δ o1   δ o2     m/k δ    F  el    (2) (3) δ o2   δ o,max     ∆  
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks