LOGICA_MATEMATICA_2013_TAMAÑO CARTA_BORRADOR.pdf

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1 Lógica Matemática Aprendemos, o por inducción o por demostración. La demos- tración parte de lo universal; la inducción de lo particular.

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   Felix Vega Benavides    P   á  g   i  n  a    1 1 Lógica Matemática 1.1.   Introducción La lógica es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de la lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de unas proposiciones dadas, a una conclusión que se deriva de aquellas (a la luz de un razo-namiento válido). La validez lógica, es la relación entre premisas y la conclusión de tal forma que si las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. La importancia de la Lógica viene siendo reconocida desde la antigüedad, ya los griegos clásicos sabían que el razonamiento es un proceso sujeto a ciertos esquemas y que, al menos parcialmente, está gobernado por leyes perfectamente formulables. La lógica matemática, es la disciplina que se vale de métodos de análisis y razonamiento, utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico. La lógica matemática nos ayuda a esta- blecer criterios de verdad, hacer demostraciones de teoremas y es auxiliar en el análisis de argu-mentos planteados. Giuseppe Peano 1   fue quien bautizó este método como “Lógica matemática”. Fue creada siguiendo los pensamientos del filósofo griego Aristóteles, claro está tomándolo de una manera más indeter-minada. Pero su importancia en la actualidad se debe, sin duda, al destacado papel que ha tomado recientemente en los más diversos campos de la Informática (análisis, síntesis y verificación de pro-gramas, programación lógica, inteligencia artificial, control de procesos, robótica, etc.) y todo ello como un intento de mecanizar los procesos del razonamiento. Fueron George Boole 2  y Augustus De Morgan 3  , a mediados del siglo XIX, quienes primero presen-taron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los funda-mentos de la matemática. En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de ló gica que terminaría llamándose “álgebra de Boole”. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario 1   Giuseppe Peano, matemático italiano. (1858  –   1932) 2  George Boole, Matemático británico. (1815  –   1864) 3  Augustus De Morgan, Lógico y matemático británico. (1806  –   1871)  Aprendemos, o por inducción o por demostración. La demos-tración parte de lo universal; la inducción de lo particular. __________________________  Aristóteles (384-322) AC   Felix Vega Benavides    P   á  g   i  n  a    2 actual. Claude Shannon 4  en 1938  , demostró como con las operaciones booleanas elementales, se podrían representar mediante circuitos de conmutadores eléctricos y cómo la combinación de estos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Shannon  demostró asimismo que el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos de conmutadores. El presente capítulo, es una breve guía hacia las herramientas más básicas de esta disciplina. 1.2.   Proposiciones La lógica simbólica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde la sintaxis, es decir, desde el lenguaje, de forma independiente al significado de las afirmaciones involucra-das. En gramática existen diferentes tipos de oraciones, entre ellas están las declarativas. Estas po-seen la cualidad de poder ser calificadas como falsas ó verdaderas, según el contexto. En la lógica matemática, nos interesa que las aseveraciones describan algún fenómeno de manera exacta, libre de las ambigüedades que surgen en las conversaciones cotidianas. En este sentido, podemos ensayar la siguiente definición: Definición 1   Una proposición, es una sentencia a la cual le podemos asignar un valor de verdad, pudiendo ser esta verda-dera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez.  Para representar simbólicamente a una proposición, generalmente se utilizan las ultimas letras del alfabeto: ,,,,⋯  Por ejemplo, consideremos las siguientes oraciones:    :         :−3545−−17=21      :          :25   ú        : ó   ó 2−14=0  7      :32>5  Los enunciados ,,    , son proposiciones con un valor de verdad definido: o son falsas ó ver-daderas. En cambio el enunciado   , necesita que se verifique a qué persona de nombre Pedro se re-fiere la oración, y, el enunciado   , requiere que se especifique el valor de las variables. Las proposiciones que son verdaderas en cualquier circunstancia se denominan Tautologías (T), las que continuamente son falsas se denominan Contradicciones (C) y las que no tienen valor definido, es decir, a veces son falsas y otras veces son verdaderas, se denominan Contingencias. 1.2.1.   Proposiciones simples y compuestas Una proposición será considerada atómica o simple cuando ella no pueda ser separada en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones. Por ejemplo, tratemos de separar en enunciado       4  Claude Shannon, ingeniero electrónico y matemático norteamericano. (1916  –   2001)     Felix Vega Benavides    P   á  g   i  n  a    3      :         :   Ambas, son frases que no describen un fenómeno completo Otro ejemplo, tratemos de separar en enunciado 25   ú         :25   ú        :  La primera se conserva como proposición, no así la segunda. Una proposición será considerada compuesta cuando está formada por varias proposiciones sim-ples, ligadas entre sí por frases que las conectan. Por ejemplo:     ú , 21    Aquí, hay dos proposiciones simples: :    ú  : 21    La frase …,…  es empleada para conectar a las proposiciones simples. El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor que tiene cada una de las proposiciones simples y también de la manera como ellas están enlazadas. 1.3.   Conectivos lógicos Los conectivos lógicos son partículas o frases gramaticales que sirven para enlazar a las proposicio-nes simples y formar de esta manera a las proposiciones compuestas. Estas se pueden reducir a unas pocas que son las esenciales y construir otras a partir de ellas. Los conectivos lógicos básicos son:    Negación    Conjunción    Disyunción inclusiva    Disyunción exclusiva    Condicional    Bi condicional 1.3.1.   Negación La “negación” se simboliza generalmente por el signo “ ~ ” . Este signo puede ser traducido en pala-  bra como: “no es el caso que”, o, más brevemente como “no”· En realidad, esta frase no enlaza, ac-túa sobre una proposición y niega que la acción o cualidad se produzca. Por ejemplo, si s  representa a la proposición 25   ú    , entonces la expresión ~  representa a 25    ú    Obviamente, cambia el valor de verdad de la proposición sobre la cual actúa. Así, si la proposición “ :   ” es verdadera  ,   entonces la proposición “ ~:    ” resulta ser falsa. Podemos representar los valores de verdad de esta proposición mediante la siguiente tabla:   Felix Vega Benavides    P   á  g   i  n  a    4    ~  V F F V 1.3.2.   Conjunción Es el operador correspondiente al término “ y “, siendo el símbolo más corriente “ ∧ ” . Por ejemplo, consideremos la proposición: 5   ú      Hay dos proposiciones simples: :5   ú :5   ú   La proposición completamente simbolizada es: ∧  La regla para establecer los criterios de verdad es la siguiente:    La conjunción de enunciados en el cual todas las proposiciones son verdaderas, resulta ser verdadera.    La conjunción de enunciados en la que no todas las proposiciones son verdaderas, es falsa. Esto equivale a decir que es suficiente que una de las proposiciones sea falsa para que toda la con- junción sea falsa. Lo expresado anteriormente se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.       ∧  V V V V F F F V F F F F Por ejemplo, en el enunciado: “El auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería”  Las proposiciones simples son: :           :        í   La proposición ∧  ha de ser verdadera cuando se tenga gasolina en el tanque y corriente en la  batería, si no se tiene una de esas dos condiciones, el auto no arrancará y la proposición ∧  ha de ser falsa. 1.3.3.   Disyunción inclusiva Es expresada ordinariamente mediante la palabra “  ”, simbólicamente se  representa por medio de “ ∨ ”colocada entre dos proposiciones. En este caso no tiene el carácter de dilema, y se puede inte r- pretar como “ o uno u otro o ambos ”  La regla para establecer el criterio de verdad es la siguiente:
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