LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA

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XVI CONFERENZA POLITICHE PUBBLICHE, SVILUPPO E CRESCITA Pavia, Università, 7-8 ottobre 2004 LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA ERNESTO SAVAGLIO pubblicazione internet realizzata con

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XVI CONFERENZA POLITICHE PUBBLICHE, SVILUPPO E CRESCITA Pavia, Università, 7-8 ottobre 2004 LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA ERNESTO SAVAGLIO pubblicazione internet realizzata con contributo della società italiana di economia pubblica dipartimento di economia pubblica e territoriale università di Pavia LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA ERNESTO SAVAGLIO Abstract. La recente letteratura economica sulla disuguaglianza ha esteso l analisi dei confronti interpersonali in termini di disparità sociale ad altre caratteristiche individuali oltre al reddito. Le presenti note passano in rassegna iprincipalifiloni di ricerca teorica sulla disuguaglianza multidimensionale. JEL Classification :D31 AREA TEMATICA: 3.- Distribuzione del reddito, misurazione dell impatto delle politiche, analisi delle evidenze empiriche 1. Introduzione La letteratura economica relativa allo studio delle disuguaglianze si è prevalentemente concentrata sugli aspetti unidimensionali del problema. La distribuzione personale del reddito costituisce infatti la variabile rilevante su cui basare la misurazione della disparità economica di una data popolazione. Pare evidente, invece, che per analizzare lo status sociale delle persone le variabili da considerare come rilevanti siano più di una. Sen [30], Kolm [13], Maasoumi [19] e molti altri studiosi hanno in precedenza sottolineato come sia fondamentale analizzare le diverse caratteristiche degli individui, ai fini di misurare e valutare se una data popolazione (o nazione ad esempio), presenti un livello di disuguaglianza più elevata rispetto ad un altra. Le persone sono diverse per reddito, istruzione, condizioni di salute, ecc. ed è quindi necessario estendere le nostre valutazioni ad un insieme di caratteristiche ulteriori rispetto al solo reddito, se vogliamo rispondere in maniera esaustiva alle domande poste da Sen (1981): Why inequality? e Inequality of What?. Purtroppo, lo studio della disuguaglianza in un contesto multidimensionale (cioè con più variabili oltre al reddito), è difficile e la letteratura economica e matematica è piuttosto esigua, tecnicamente sofisticata, ma spesso con un basso valore euristico. Dal momento che il problema è complesso, è risultato difficile estendere i risultati ottenuti sul terreno della misurazione della disuguaglianza in termini della sola variabile esplicativa reddito al contesto multivariato. Una delle difficoltà principali risiede nell ovvia interazione tra gli attributi individuali di tipo reddituale e quelli di tipo qualitativo quali l istruzione o la salute. Queste note passano in rassegna la recente letteratura economica riguardo la disuguaglianza multidimensionale e fanno parte di una serie di lavori collegati che analizzano i vantaggi dell estendere l analisi e la misurazione della disuguaglianza da un contesto univariato a uno multivariato. Il progetto di ricerca, di cui questo articolo fa parte, si articola in due parti: Date: 6 Settembre Key words and phrases. Ordinamenti, disuguaglianza multidimensionale, disparità sociale. 1 2 ERNESTO SAVAGLIO a: la misurazione teorica del benessere relativo a diverse distribuzioni di caratteristiche individuali; b: lo studio empirico delle politiche pubbliche rivolte ad ottenere una diminuzione delle disuguaglianze misurate con lo strumento di cui al punto a; La prima parte (punto a, si veda Savaglio [28]) del mio lavoro quindi consiste nei confronti tra diverse distribuzioni multivariate di individui-attributi. Una funzione di benessere sociale stabilirà la desiderabilità in termini di uguaglianza di una distribuzione rispetto ad un altra. Successivamente, sarà possibile studiare come empiricamente una tassazione progressiva o l introduzione di un insieme di beni pubblici migliorino l uguaglianza individuale a livello di più dimensioni e quindi a livello complessivo. Il presente lavoro contiene una prima sezione in cui discuto i risultati principali relativi alla misurazione della disuguaglianza unidimensionale. Nella terza sezione, spiego la notazione e introduco le principali definizioni dei criteri di confronto di popolazioni di individui che differiscono sulla base di diverse caratteristiche comuni. La sezione 4 rassegna i tre principali filoni di ricerca sulla disuguaglianza multidimensionale. Il primo riguarda l approccio che misura la disuguaglianza degli individui che si differenziano sulla base di più attributi incluso il reddito. Questa misura viene effettuata a partire da una funzione di benessere sociale generalizzata di cui si studiano le caratteristiche su basi assiomatiche. Successivamente, mi soffermo sui pro e i contro della misurazione di distribuzioni multidimensionali attraverso degli indici. Infine, analizzo un filone di ricerca, analiticamente molto complesso, che studia la disuguaglianza multidimensionale facendo uso di strumenti di analisi convessa. La quinta sezione conclude con alcune osservazioni riguardanti iproblemiancoraapertielesfide teoriche da affrontare in questo filone di ricerca ancora quasi del tutto inesplorato. 2. Maggiorazione univariata All inizio del secolo scorso, gli economisti hanno incominciato ad essere non solo interessati ai problemi legati alla disuguaglianza, ma anche a volerla misurare, cioè a dire hanno sentito l esigenza di uno strumento che valutasse quando una determinata distribuzione di una caratteristica quantitativa di una popolazione fosse più o meno sperequata. Storicamente, il primo strumento che ha consentito di fare confronti in termini di disuguaglianza (del reddito) fu scoperto e studiato da Lorenz [18], il quale ha introdotto quella che oggi viene chiamata curva di Lorenz. Si consideri una popolazione di n individui e sia x i la ricchezza degli i individui, i = 1,..., n. Si ordinino gli individui dal più povero al più ricco, ottenendo la distribuzione x (1),..., x (n). Si traccino ora i punti di coordinate (k/n, S k /S n ), k = 0,..., n, doves 0 =0e S k = P k i=1 x (i) è la ricchezza totale del k-esimo gruppo di individui più poveri nella popolazione. Unendo questi punti con una spezzata, si ottiene una curva che unisce l origine degli assi cartesiani col punto di coordinate (1, 1). Sex 1,..., x n è la distribuzione di una certa quota di ricchezza T fra n individui e y i,..., y n è una distribuzione alternativa di T. Allora l idea di Lorenz è che: Definition 1. (x 1,..., x n ) rappresenta una distribuzione più egalitaria della ricchezza rispetto a (y i,..., y n ) se e solo se LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA 3 (2.1) E ovvio che, (2.2) kx x (i) i=1 kx y (i) k =1,...,n 1 i=1 nx x (i) = i=1 nx y (i) = T i=1 Le relazioni 2.1 e 2.2 sono una maniera di dire che la distribuzione x è meno disuguale, analiticamente più liscia (o dualmente è maggiorata da), della distribuzione y. Questo si indica con la scrittura x ¹ y. Se R n è l insieme di tutte le distribuzioni del reddito di una popolazione di n individui, un criterio di disuguaglianza ¹, come quello di Lorenz, è generalmente una relazione binaria definita su un sottoinsieme A di R n, che soddisfa le seguenti proprietà: (Riflessivita ) x ¹ x per ogni x A (Transitivita ) x ¹ y e y ¹ z implica x ¹ z quando x, y, z A (Antisimmetria) x ¹ y e y ¹ x implica x = y Una relazione binaria ¹ perlaqualevalgonoquestetreproprietàvienechiamata ordinamento parziale. 1 Se due distribuzioni del reddito x, y R n soddisfano x ¹ y, allora diciamo che y è più diseguale (sperequata) di x. Successivamente Dalton [4] notò che: If there are only two income-receivers and a transfer of income takes place from the richer to the poorer, inequality is diminishing, respecting the limiting condition that the transfer must not be so large as to more than reverse the relative positions of the two income receivers. Formalmente, questo significa che se y i y j con y k il reddito dell individuo k con k =1,..., n e un ammontare δ di reddito viene trasferito dall individuo j all individuo i, allora la disuguaglianza del reddito risulterà essere diminuita se δ y j y i. Muirhead [24] aveva già analizzato la nozione di trasferimento di Dalton. Infatti, aveva dimostrato che se le componenti delle distribuzioni x and y sono numeri interi non negativi, allora le seguenti condizioni risultano essere equivalenti: (i) possiamo ottenere la distribuzione x dalla distribuzione y attraverso una serie finita di trasferimenti ognuno dei quali deve soddisfare la restrizione imposta da Dalton e citata sopra; (ii) la somma delle prime k componenti più grandi di x deve essere inferiore o al più uguale alla somma delle corrispondenti k più grandi componenti di y, k =1,...,n, con l uguale quando k = n. 2 1 In realtà, il criterio di dominanza di Lorenz è un preordine perchè esso implica una condizione più debole dell antisimmetria: x y e y x insieme implicano che x è una permutazione degli elementi di y e allora dev essere x = y. 2 Si noti che la condizione (ii) è equivalente alle condizioni 2.1 e 2.2 nella Definizione 1. 4 ERNESTO SAVAGLIO Muirhead [24] aveva inoltre osservato che se y i e y j sono rimpiazzate da y i + δ and y j δ in δ y j y i, allora ciò equivale a rimpiazzare y i e y j con delle medie. Se 0 α = δ/ (y j y i ) 1 e α =1 α, allora (2.3) y i + δ = αy i + αy j e y j δ = αy i + αy j. Medie ripetute di due redditi alla volta saranno allora equivalenti alla distribuzione x che si ottiene da y attraverso un numero finito di trasferimenti. Hardy, Littlewood and Polya [10] (da qui in avanti semplicemente HLP), successivamente dimostrarono che l operaione 2.3 produce lo stesso risultato della sostituzione di y i con x i attraverso una media arbitraria del tipo: (2.4) x i = y 1 p 1i y n p ni, i =1,..., n P dove p ij 0, pertuttii, j, ètaleche: n i=1 p P n ij =1 per ogni j, e j=1 p ij =1 per tutti gli i. HLP hanno inoltre dimostrato che l operazione 2.4 è equivalente a premoltiplicare un vettore y per una matrice bistocastica P =(p ij ), cioè una matrice quadrata le cui componenti sono tutte non negative e dove la somma di ciascuna riga e/o di ciascuna colonna è pari a uno. A parole, questo risultato, molto elegante sotto il profilo analitico, significa che se x ¹ y, allora x può essere derivato da y attraverso una sequenza finita di trasferimenti, che soddisfano la restrizione enunciata da Dalton, seesolose: x = yp dove P è una matrice bistocastica n n. Remark 1. Si noti che le matrici di permutazione sono matrici quadrate nelle quali in ogni riga e/o colonna c è un uno e tutte le altre componenti sono zero. Esse sono delle matrici bistocastiche di particolare interesse. Birkhoff (si veda Marshall and Olkin [22]) ha dimostrato che le matrici di permutazioni sono i punti estremi dell insieme convesso delle matrici bistocastiche e che l insieme delle matrici bistocastiche rappresenta l involucro convesso delle matrici di permutazione. HLP [10] hanno dimostrato che un tipo particolare di trasformazione lineare, chimata T-transform, lacuimatricehalaforma T = λi +(1 λ) Q dove λ [0, 1] e Q è una matrice di permutazione che interscambia solo due coordinate, è equivalente ad un trasferimento di tipo Dalton-Muirhead. La trasformazione yt ha la forma: yt =(y 1,...,y j 1,λy j +(1 λ) y k,y j+1,..., y k 1,λy k +(1 λ) y j,y k+1,..., y n ). HLP dimostrano che se, in base al criterio di Lorenz, la distribuzione x è meno disuguale della distribuzione y, allorax può essere derivato da y attraverso un numero finito di applicazioni successive di T-transform. Dal momento che una T-transform è una matrice bistocastica e che il prodotto (finito) di matrici bistocastiche è una matrice bistocastica, HLP mostrano che la seguente equivalenza è vera: Q x = y k T = yp. i=1 A parole, una sequenza di trasferimenti di Muirhead-Dalton (cioè P ) puòessere scompostainunnumerofinito di trasferimenti elementari, cioè trasferimenti che coinvolgono solo due coordinate alla volta (cioè T ). Questo risultato è cruciale nello studio della disuguaglianza sotto il profilo teorico. Infatti, esso suggerisce che LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA 5 è sufficiente analizzare una popolazione di due individui, cioè n =2, per dimostrare i risultati principali passati in rassegna in questa sezione, e ciò senza perdere in generalità. La nozione di uguaglianza o il suo duale (disuguaglianza) è una nozione intuitiva, ma storicamente fu resa analiticamente precisa solo col lavoro di Schur [29] sui determinanti di Hadamar delle matrici Hermitiane semidefinite. I risultati di Schur rappresentano il punto di partenza di una vasta letteratura matematica sulla disuguaglianza. Schur [29] studia le funzioni cosiddette che preservano l ordinamento e che in economia vengono più semplicemente chiamate funzioni di valutazione sociale. Analiticamente, se ¹ è un preordine definito su un qualche insieme A R n, Definition 2. Una funzione ϕ : A R n R è detta che preserva l ordinamento (o isotonica) se x ¹ y implica ϕ (x) ϕ (y), x, y A. Dal momento che la ricerca di Schur [29] è stata l origine di tutta una vasta letteratura sulle funzioni che preservano l ordine, tali funzioni vengono oggi chiamate anche convesse nel senso di Schur , in onore dello sfortunato matematico di origini ebree, o più frequentemente S-convesse , per contrapposizione alle funzioni convesse nel senso di Jensen , oggi più semplicemente chiamate funzioni convesse. Definiamo una funzione ϕ come convessa nel senso di Schur se vale la seguente: Definition 3. Una funzione ϕ : A R n R ès-convessasef(bx) f(x) per tutti gli x A e tutte le matrici n n bistocastiche B e strettamnete S-convessa se la disuguaaglianza vale in senso stretto e B non è una matrice di permutazione. DallavorodiSchur,noisappiamocheseϕ èdifferenziabile e se ϕ (k) (z) = ϕ(z) / z k è la derivata parziale di ϕ rispetto al suo k-esimo argomento, allora il seguente teorema caratterizza la classe di funzioni S-convesse: Theorem 1 (Schur, 1923; Ostrowski,1952). Sia A R un intervallo aperto e sia ϕ : A n R una funzione continua e differenziabile. Condizione necessaria e sufficiente affinchè ϕ sia Schur-convessa in A n èche ϕ sia simmetrica su A n e ϕ (i) (z) sia crescente in i =1,..., n per tutti z R A n, dove R = {(x 1,..., x n ):x 1... x n } è un campo ordinato. Alternativamente, ϕ è Schur-convessa in A n se e solo se ϕ èsimmetricaeper tutti gli i 6= j, h i (2.5) (z i z j ) ϕ (i) (z) ϕ (j) (z) 0 per ogni z A n Si noti che nel dimostrare che una funzione ϕ è Schur-convessa è sufficiente dimostrare che ϕ (x) ϕ (y) quando x ¹ y e x e y differiscono solo in due componenti. Questa è una conseguenza del fatto che se x ¹ y, allora x può essere derivato da y attraverso un numero finito di T-transform. Il risultato di Schur è utile per identificare la classe di funzioni consistente con un dato ordinamento. Infatti, il Teorema 1 significa che se la distribuzione x è più liscia , cioè meno disuguale, della distribuzione y, sulla base di un qualche 6 ERNESTO SAVAGLIO criterio di disuguaglianza (cioè un preordinamento come quello di Lorenz), allora la disuguaglianza associata a y risulterà essere maggiore di quella associata a x se la misuriamo ricorrendo alla classe di funzioni di valutazione sociale ϕ (cioè alla classe di funzioni S-convesse se l ordinamento utilizzato è quello di Lorenz). A seguito del lavoro di Schur [29], la ricerca matematica sulla disuguagliaza è letteralmente esplosa. Al contrario, in economia, dobbiamo attendere l inizio degli anni Settanta affinchè riprenda il dibattito sui problemi legati alla misurazione della disuguaglianza economica. Tutto ciò grazie ai pioneristici lavori di Kolm [14] e Atkinson [1]. Atkinson ha giustificato l utilizzo delle curve di Lorenz per misurare la disuguaglianza del reddito all interno di un approccio di tipo utilitarista. Ha mostrato, in altri termini, che se una funzione di valutazione sociale è additiva separabile ed è la somma di funzioni di utilità individuali ( la stessa funzione di utilità per tutti gli n individui), allora l ordinamento parziale di Lorenz sulle distribuzioni del reddito equivale all ordinamento dato da una funzione di valutazione sociale così fatta, e dove le funzioni di utilità degli individui sono concave. Questo risultato si basa in realtà su un risultato più generale che qui riporto: Theorem 2 (HLP, 1934). Siano x, y R n,leseguenticondizionisonoequivalenti: (i) x ¹ y; (ii) x = yp per qualche matrice bistocastica P ; P (iii) n P g (x i ) n g (y i ),per ogni funzione strettamente concava g Il Teorema 2 rappresenta la pietra miliare di tutta la letteratura economica sulla teoria della disuguagliaza. In esso si mostra che l ordinamento delle distribuzioni del reddito prescelto deve avere un contenuto normativo e positivo. Infatti, la condizione (i) che rappresenta l ordinamento di Lorenz, una misura statistica, quindi a forte contenuto positivo; la condizione (ii) è il cosiddetto criterio di trasferimento di Muirhead-Dalton, dal forte valore normativo; infine la condizione (iii) mostra una funzione di valutazione a valore normativo, legato alla scelta del particolare funzionale, e a valore descrittivo, essendo il duale di una misura del grado di disuguaglianza di una distribuzione. 3. Maggiorazione multidimensionale In questa sezione passiamo in rassegna il problema di come modellizzare in astratto la disuguaglianza multidimensionale. Supponiamo che la componenti di due distribuzioni x e y siano punti in R m, cioè vettori colonna. In tal caso, x, y diventano matrici che indichiamo come segue: X =(x n 1,..., x n m), dove x n i sono tutti vettori colonna di lunghezza n. Con riferimento alla nozione di T- transform, la definizione seguente esprime l idea che la matrice X è meno disuguale, cioè a dire rappresenta una distribuzioni di caratteristiche meno sperequate di quelle di Y : Definition 4. Siano X e Y due matrici n m. Allora X è detta maggiorata a catena da Y, scritto X Y,seX = PY dove P è il prodotto di un numero finito di n n T-transform. 3 Dasgupta et alii [6] hanno poi esteso questo risultato alla classe di funzioni S-convesse. LA DISUGUAGLIANZA MULTIDIMENIONALE: UNA RASSEGNA CRITICA 7 In altre parole, l idea di trasferimento introdotta da Muirhead [24] e Dalton [4] si estende anche la caso in cui le componenti di x e y sono vettori. Di fatto, se noi sostituiamo y i e y j con x i e x j otteniamo un nuovo vettore x dal vettore y, coni vincoli che: i) x i, x j stanno nell involucro convesso di y i, y j ; ii) x i + x j = y i + y j. allora: Definition 5. Se X e Y sono due matrici n m, allorax viene detta maggiorata da Y, scritto X Y,seX = PY,doveP è una matrice bistocastica n n. Dal momento che il prodotto di T-transform è una matrice bistocastica, la maggiorazione a catena implica la maggiorazione, Y X Y X e nel caso n =1, e quando m =2, è vero anche l inverso. In generale, per n 2 e m 3 la maggiorazione tramatricinonimplicalanozionedimaggiorazione a catena. Questaè una differenza fondamentale risptto al caso univariato dove, come abbiamo visto, esiste la perfetta equivalenza delle due nozioni, perchè una matrice bistocastica può sempre essere scomposta nel prodotto di un numero finito di T-transform. La Definizione 5 dice semplicemente che la media è un operazione che liscia la distribuzione, cioè che rende le componenti della matrice X più liscie di quelle di Y. Se definiamo l involucro convesso di una matrice generica Y, indicata come: H = co yi 1,..., yi n ), i =1,..., m ª, come la combinazione convessa dei vettori riga della matrice, una definizione equivalente di maggiorazione è la seguente: Definition 6. Siano X, Y R n m due matrici, allora diciamo che X mostra un minore livello di disparità di Y,seX è contenuta nell involucro convesso di tutte le permutazioni di Y. In un contesto multidimensionale, non esiste un Teorema equivalente al Teorema 2 e ben poco è noto riguardo le funzioni che preservano gli ordinamenti come quello di maggiorazione. Ladifficoltà nel non riuscire a trovare un risultato equivalente all elegante
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