CÁLCULO DE VOLÚMENES

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    CÁLCULO DE VOLÚMENES  _______________________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________________ CÁTEDRA TOPOGRAFÍA APLICADA.- F.I. – U.N.S.J. P. T. . Alfredo Luis Serafino 1 - VOLÚMENES En obras de ingeniería se presenta el problema del cálculo de los volúmenes de suelos a mover, en las tareas tendientes a darle una forma adecuada a la superficie terrestre a fin de fundar las estructuras. Es decir debemos determinar el volumen que se encuentra entre la superficie del suelo natural y la superficie resultante de las exigencias de la obra a realizar. Por otro lado también, se presenta la necesidad de cubicar las obras, (cimientos, muros, columnas, vigas, losas, hierros, etc., terraplenes, defensas, contrafuertes, núcleo de un dique, etc. 1-) Forma Geométrica .- Siempre que las condiciones del objeto lo permita, se realizará el cálculo reduciendo su forma geométrica, a uno o varios cuerpos simples de la geometría. (cubo, prisma, pirámide, cono, tronco de pirámide o cono, esfera, etc., como también los resultantes de secciones de estos por un plano u otra superficie) y / o a un prismatoide. 1-1) Expresiones Geométricas - Recordemos las fórmulas de la geometría: 1-1-1)-Volumen de Cuerpos Simples  - las expresiones matemáticas que nos dan el volumen de cuerpos simples de la geometría: 1-1-2)- Volumen del Prismatoide El prismatoide, es una figura que aparece con bastante frecuencia en excavaciones de suelos, como así también, en acopios de materiales, depósitos de líquidos, etc. En la figura siguiente vemos un ejemplo de prismatoide clásico, no debemos confundirlo con un Tronco de Pirámide, en este la prolongación de los laterales define un punto único. a  a aa  b d  R CUBOPRISMAESFERAV = a.a.aV = a.b.dV = 43 p R 3 a     b dd a     b CUÑAV = (S .d) 12 b V = (a.b.d) 12 CUÑAV = S .dV = a.b.d b 12 CONOV = S .dV = .d 1313  p R 2 PIRAMIDEV = a.b.d 13Rdabdbad TRONCO DE PIRAMIDE V = ( S + S + S x S )d3  1 1 2 2 V = S .d 13vS 1 S 2   PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com    CÁLCULO DE VOLÚMENES  _______________________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________________ CÁTEDRA TOPOGRAFÍA APLICADA.- F.I. – U.N.S.J. P. T. . Alfredo Luis Serafino 2 El caso que nos ocupa, lo subdividimos en cuerpos simples. En el centro se nos forma un  bloque central, que es un prisma de base rectangular y altura "d". En las cuatros esquinas  pirámides. y por ultimo, cuatro cuñas en los costados, iguales de dos en dos. Volumen: Bloque central: BCdab = .(.)  4 pirámides 413Pdaabb = - - ..(').(')  2 cuñas 22Cdbaa  b  = - ..('))  2 cuñas 22Cda bb a  = - ..('))  Volumen Total Vdab baaa bbaabb = + - + - + - - .((.).(').(').(').(')2213  de donde: Vdabababab = + + + 622.(('.).(.).('.')(.'))  (1) agrupando: Vd baabaabb = + + + + 6.(.'.'(').('))  en función de las superficies de las bases, SabSabSaabb m12 22 = = = + + (.);.('.');.(').(')) VdSSS m = + + 64 12 .(.)  (2) nótese que S m se obtiene con el  promedio de las dimensiones de las bases  y no es el promedio de las áreas 2) Volúmenes de suelos . - Cuando se debe calcular volúmenes de suelos , no será de aplicación las fórmulas de los cuerpos simples; por lo complicado de las superficies topográficas. En general utilizaremos alguno de los siguientes métodos: 1) Secciones transversales. 2) Planos horizontales. 3) Curvas de igual altura o igual profundidad 4) Uso de las Computadoras. 2-1)-Volumen de Suelos por Secciones o Perfiles Transversales. Es un método de levantamiento planialtimétrico, que está muy generalizado en las obras con desarrollo longitudinal y por lo práctico y sencillo, tiene gran aceptación entre las empresas de obras y las inspecciones de las mismas. Además de posibilitar los cálculos de volúmenes, también grafican características y detalles de las tareas a realizar, Los planos que resultan son un documento de gran utilidad y sencillos de efectuar su lectura, hasta por el no experto. Consiste en obtener, por mediciones topográficas, la forma que tiene el terreno en secciones o perfiles verticales y perpendiculares a un eje de levantamiento. Este eje, suele coincidir con el eje de un camino, canal, vía férrea, línea eléctrica, gasoducto, etc.; en los casos que ya está definido su ubicación; recibe generalmente, el nombre de “Línea de Bandera”. Las tareas en el terreno se realizan con instrumental clásico de topografía y es posible la utilización de cualquier instrumental de última generación. PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com    CÁLCULO DE VOLÚMENES  _______________________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________________ CÁTEDRA TOPOGRAFÍA APLICADA.- F.I. – U.N.S.J. P. T. . Alfredo Luis Serafino 3 Superponiendo un Perfil Transversal de terreno natural, con el que surge de la obra a realizar (teórico) o ejecutada en un período determinado, en la misma progresiva, se formará un área de obra a realizar o realizada. Comparando ésta con la que resulta en el perfil siguiente, es  posible realizar el cálculo de volumen en el tramo considerado. El primer paso consistirá en obtener estas superficies. 2-1-1) – Determinación de Superficies de las secciones. Surgen, como ya se dijo, de superponer el perfil de terreno natural y el correspondiente al proyecto de obra. Así mismo se  puede obtener con el primero y el actual de obra realizada hasta el presente, que nos documenta la situación del avance, con la posibilidad de seleccionar por items o características de las mismas. A continuación enumeraremos distintos procedimientos para encontrar estas áreas. 2-1-1-1) – Determinación Mecánica  Las figuras resultan de relativa complejidad y por ende, el cálculo de su superficie, por lo que se resuelve tradicionalmente con el auxilio de un  planímetro. Este instrumento requiere un dibujo preciso y controlado a escala conveniente. El planímetro debe estar con sus componentes mecánicos en perfectas condiciones de ajustes, en la actualidad, existen planímetros electrónicos de gran confiabilidad, se tendrá que controlar la constante de escala de acuerdo a la del dibujo. También es muy importante la textura del papel, la ausencia de pliegues y la mesa de trabajo debe estar horizontal. Por último, pasarse como mínimo dos veces por la misma figura, comparando los resultados con una tolerancia  prefijada, eliminando las diferencias personales y los errores accidentales. 2-1-1-2) – Subdivisión en Figuras Simples El polígono a determinar su superficie se la descompone en figuras simples. Ellas pueden ser: Triángulos, Trapecios y Rectángulos. El cálculo se suele hacer desde el dibujo a escala, con el auxilio de un escalímetro, o con los datos directos de campaña, desde donde obtenemos las dimensiones de las figuras resultantes. El dibujo siempre será un auxiliar en este caso. Otra forma usual, es el uso de un papel transparente con líneas verticales equidistantes, alternadamente una llena y la otra de trazos. Estas al superponerle el dibujo del perfil formará trapecios de igual altura por lo que nos queda, solamente, medir las medianas, (líneas de trazos), que serian ni más ni menos que el  promedio de las bases. La sumatoria de las medianas se multiplica por la altura de los trapecios (1 metro), obteniendo de esta forma, la superficie total. Generalmente, en los extremos se nos formará un triángulo, con una línea llena, y el fin del perfil. Así mismo al considerar la altura de los trapecios constante (1 metro) difícilmente los puntos del perfil, o cambios de pendientes, coincidirán con las líneas de los trapecios, por lo que se formarán pequeñas figuras (en defecto o exceso) que el calculista evaluará su importancia a fin de tenerlas en cuenta. Subdivisión en triángulos y trapeciosSuperficies Parciales     Subdivisión en trapecios. b2bm = (b1 + b2)/2b1dbm   PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com    CÁLCULO DE VOLÚMENES  _______________________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________________ CÁTEDRA TOPOGRAFÍA APLICADA.- F.I. – U.N.S.J. P. T. . Alfredo Luis Serafino 4 2-1-1-3) – Superficies Método de las Coordenadas de sus vértices. Conociendo las coordenadas de los vértices de un polígono cerrado su superficie se puede calcular con la conocida fórmula: S = ½ ( S( (x n+1  – x n ) (y n+1  + y n )) Donde n  es igual al número de vértices. Para aplicar la fórmula debemos numerar los puntos en forma consecutiva y cerrada. Si se hace el levantamiento con el sistema tradicional de nivel y cinta con distancias desde el eje de levantamiento, para cada punto tendremos la coordenada “X” como distancia a ese eje, y la coordenada “Y” será la cota del punto. El dibujo del perfil servirá para encontrar la intersección de los dos levantamientos de referencia. En la descripción de los métodos anteriores se ha seguido un procedimiento manual del calculista. En la actualidad, existen varios programas de computadoras personales que realizan cálculos orientados especialmente a tareas de obras, que evidentemente utilizan el sistema de calculo de superficies por coordenadas de los vértices. De esta manera se logra precisión, rapidez y sobre todo seguridad en los cálculos. 2-1-1-4) – Tolerancias y Cifras Significativas . En aquellos casos que la medición de superficies se revise mediante muestreo, se exigirá que al menos el 90 % de las áreas comprobadas no discrepen en más de un 5 % respecto de la superficie real, determinada analíticamente, (por coordenadas) Con respecto a las cifras significativas, se acepta como normal que las superficies se expresen en metros cuadrados, con un decimal. 2-1-2) – Volúmenes La determinación del volumen de tierra, comprendido entre dos  perfiles transversales consecutivos, normales al eje de una carretera, debe abordarse considerando las superficies de desmonte o corte o excavación y terraplén o relleno que las secciones presentan y la distancia entre ellas. Todos los métodos de cubicación suponen que el terreno mantiene su configuración  entre las secciones o perfiles transversales considerados; o tienen una variación lineal. De esta manera, si el terreno presenta singularidades resulta indispensable tomar perfiles intermedios, que permitan enfrentar secciones con esa hipótesis. Se denominan secciones o perfiles “homogéneos” aquellas que presentan solo excavación o solo relleno. Secciones mixtas aquellas que presentan ambos trabajos, es decir excavación y relleno. 2-1-2-1) – Cálculo de Volúmenes  En la ecuación que nos da el volumen del Prismatoide: VdSSS m = + + 64 12 .(.)  (2) Vemos la imposibilidad de uso general; debido entre otras cosas, a la dificultad de encontrar el valor de las superficies S1, S2 y Sm. Superficies por coordenadas-XX = 0 1 (-X1, Y1)2 (-X2, Y2)3 ( X3, Y3)4 ( X4, Y4)5 ( X5, Y5)6 (-X6, Y6)7 (-X7, Y7) Y 1762543 X   PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com    CÁLCULO DE VOLÚMENES  _______________________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________________ CÁTEDRA TOPOGRAFÍA APLICADA.- F.I. – U.N.S.J. P. T. . Alfredo Luis Serafino 5 En general tendremos cuerpos muy parecidos a un prismatoide pero las secciones serán figuras completamente irregulares. S1S2Sm  La solución está en los casos que tengamos una sección constante (a=a' y b=b') (en la fórmula (1) del –1-1-2 )  (prisma), o cuando la variación de las superficies  de las secciones intermedias sea proporcional al incremento de la distancia a la base (cuña); ó dicho de otra manera mucho más general es cuando se cumpla: S m  = (S 1  + S 2 )/2 entonces será válida la simplificación que buscamos, obteniendo la ecuación siguiente: VdSS = + .() 12 2  (3) Esta expresión es de uso común en los cálculos de volúmenes de suelos cuando se utilizan perfiles o secciones transversales, las áreas: S 1  y S 2 se encuentran en planos verticales  paralelos. La distancia d se obtiene por diferencia de progresivas. Es muy conveniente tener presente las simplificaciones que hemos realizado. Estas nos conducirán a obtener como resultado un valor aproximado del volumen y que según la geometría del cuerpo, el error será o no significativo, cuanto más se aproxime a un prisma, o cuña, tendremos mejores resultados. Las diferencias irán en aumento cuando la forma del cuerpo se aproxime a una pirámide o tronco de pirámide. Es por esta razón que alternativamente se complementa el uso de la fórmula (3), con la obtenida del volumen del tronco de pirámide. Resumiendo para perfiles transversales utilizaremos, según el caso: VdSS = + .() 12 2  (3) VdSSSS = + + ´ 3 1212 ()  (4) La determinación del volumen de tierra comprendido entre dos perfiles transversales consecutivos, normales a un eje de levantamiento, debe abordarse considerando los perfiles con superficies de desmonte o excavación y / o terraplén o relleno que dichas secciones presentan y la distancia entre ellas. Por todo esto, en cada caso, se deberá hacer un estudio de precisiones analizando la incidencia de los errores netos y con referencia a la magnitud de los volúmenes totales. Vialidad Nacional para caminos de llanura, con perfiles transversales “homogéneos” (es decir, solo excavación o solo terraplén) fija una distancia entre ellos de 100 m. Así mismo se  puede seguir con esta frecuencia, aún con perfiles mixtos, cuando las superficies de excavación y o terraplén se enfrente perfectamente. En cambio para caminos de zonas onduladas de médanos y pie de monte cercano, nunca se sobrepasa los 50 metros de frecuencia de los perfiles transversales.   Por ello que la primera generalización, es considerar a las secciones con cualquier forma, con solo que sean semejantes y que exista una continuidad lineal en el cuerpo- Por otro lado, tendremos la dificultad de calcular el área Sm . Por esto se estudia la posibilidad de no utilizar su valor. 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