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  Dispense del Corso diIstituzioni di Analisi SuperioreLaurea Magistrale Prof. Rolando Magnanini Dipartimento di Matematica U. Dini, Viale Morgagni 67/A,50134 Firenze (ITALIA) E-mail address  :  magnanin@math.unifi.it  Sommario.  spazio per abstract  Indice Capitolo 1. Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue 1 § 1.1. Funzioni a variazione limitata 1 § 1.2. Derivabilit`a quasi ovunque delle funzioni a variazione limitata 3 § 1.3. Funzioni assolutamente continue 7 § 1.4. Due esempi 12Esercizi 14Capitolo 2. Cenni di Analisi Funzionale 17 § 2.1. Spazi di Hilbert 17 § 2.2. Sistemi ortonormali 20 § 2.3. Funzionali ed operatori lineari 24 § 2.4. Il teorema di Banach-Steinhaus 29 § 2.5. I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram 31 § 2.6. Operatori compatti 35 § 2.7. Teorema dell’alternativa di Fredholm 40 § 2.8. Spettro di un operatore limitato 43 § 2.9. Spettro di un operatore compatto 45 § 2.10. Sistemi di Sturm-Liouville 47Esercizi 53Capitolo 3. Serie di Fourier 55 § 3.1. Generalit`a 55 § 3.2. Convergenza puntuale 58 § 3.3. Convergenza in media 62iii  iv  Indice  § 3.4. Nuclei di sommabilit`a 63 § 3.5. Il fenomeno di Gibbs 65 § 3.6. Applicazione: il metodo di separazione delle variabili 67Esercizi 72Capitolo 4. Trasformata di Fourier 75 § 4.1. Generalit`a 75 § 4.2. La classe di Schwartz 76 § 4.3. La trasformata di Fourier in  L 2 ( R N  ) 79 § 4.4. Nuclei di sommabilit`a 82 § 4.5. La formula di addizione di Poisson 85Esercizi 88Capitolo 5. Cenni sulle distribuzioni 91 § 5.1. Qualche motivazione 91 § 5.2. Generalit`a 92 § 5.3. La derivata distribuzionale e gli spazi di Sobolev 94 § 5.4. Operazioni sulle distribuzioni 95 § 5.5. Distribuzioni a supporto compatto 100 § 5.6. Il teorema fondamentale per le distribuzioni 104 § 5.7. Le distribuzioni temperate 108Esercizi 110Capitolo 6. Funzioni armoniche 113 § 6.1. Generalit`a 113 § 6.2. La propriet`a della media 114 § 6.3. Il principio di massimo 116 § 6.4. La disuguaglianza di Harnack 119 § 6.5. Criteri di compattezza 122 § 6.6. Maggiorazioni a priori delle derivate 124Esercizi 126Capitolo 7. Problemi al contorno 129 § 7.1. La soluzione fondamentale 129 § 7.2. I problemi di Dirichlet, Neumann e Robin 133 § 7.3. Teoremi di unicit`a 133 § 7.4. La funzione di Green 138 § 7.5. Il metodo di Perron 144
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