ملزمة الرياضيات - السادس العلمي

Description
ملزمة كتاب الرياضيات للكتاب المنهجي العراقي للصف السادس العلمي 2016- 2015 حلول التمارين - حلول الاسئلة الوزارية - تمارين اثرائية تدريس خصوص لمادة الرياضيات لطلبة السادس العلمي + والادبي تدريس خصوصي لطلبة الكليات لمادة الرياضيات

Please download to get full document.

View again

of 280
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Education

Publish on:

Views: 5 | Pages: 280

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
  • 1. 2015 / 2016 ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬ ‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 80087430770
  • 2. 2015 / 2016 ‫ا‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬ ‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 80087430770
  • 3. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬5/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫المركبة‬ ‫االعداد‬): 1]–1[‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫الحاجة‬:‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نحاول‬ ‫عندما‬+16 = 02 x:‫ان‬ ‫نجد‬ x2 +16 = 0 ⇒ x2 = -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1 ‫قيمة‬ ‫فما‬√−1‫ي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫وهل‬ ‫؟‬‫س‬‫ا‬‫وي‬(-1).‫كهذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫الواضح‬ ‫من‬‫والعجز‬ ‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫حل‬ ‫عن‬0=16+2 x‫في‬ ‫الرغبة‬ ‫أوجد‬ , ‫حل‬ ‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫يضم‬ ‫جديد‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫الحصول‬0=16+2 x‫المجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫حل‬ ( ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫بمجال‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ابتكار‬ ‫الى‬ ‫ذلك‬ ‫ويدفعنا‬ ‫الجديد‬Complex Number‫فرضن‬ ‫فاذا‬ )‫ـــــــــــــــ‬‫ا‬ ‫ان‬i = √−1‫كلمة‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫وهو‬(Imaginary Numbers)‫ا‬‫ي‬‫االعداد‬‫الخيالية‬‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬ ‫المعادلة‬0=16+2 x‫هي‬{4i±} ‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫ولكنه‬ ‫والقياس‬ ‫العد‬ ‫مع‬ ‫تقترن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫هو‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬‫لألعداد‬‫ما‬ ‫الحقيقية‬ .‫الترتيب‬ ‫خاصية‬ ‫عدا‬ ‫قوى‬i:-i = √−1 i2 = -1 i3 = i2 . i = -1 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4 = 1 :‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ i4n + r = ir , n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 … ‫رفع‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬i‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناتج‬ ‫موجب‬ ‫صحيح‬ ‫لعدد‬{i , -1 , -i , 1}‫اس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬ i‫على‬4‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬i: /‫مثال‬i = i.6 i = 1.6 )4 i = (i.24 = i25 i i99 = i96 . i3 =(i4 )24 . i3 = 124 . i3 = i3 = -i ‫مثال‬1/:‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬- i20 = i24 . i3 = (i4 )6 . i3 = 16 . i3 = -i i08 = i08 . i = (i4 )28 . i = 128 . i = i i0 = i4 . i3 = 8 . i3 = -i i81 = (i4 )4 = 8 i30 = i31 . i2 =(i4 )84 . i2 =184 (-1)= -1 i104 = (i4 )26 = 126 = 1 i10 = i8 . i2 = (i4 )2 . i2 = 8 . i2 = -1 i17 = i16 . i = (i4 )4 . i = 14 . i = i i12n+93 = i12n . i93 = (i4 )3n . (i4 )23 . i = 13n . 1 . i = i :‫تعريف‬‫للعدد‬ ‫يقال‬c = a + bi‫حيث‬a,b‫وان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬√−1i =‫مركبا‬ ‫عددا‬ ,)ComplexNumber( ‫يسمى‬a‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬Real Part‫ويسمى‬b‫التخيلي‬ ‫الجزء‬Imaginary Part‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمز‬ . ‫بالرمز‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ℂ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬a+bi.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬ ‫او‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
  • 4. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬6/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 i -13 = i -13 . (i4 )4 =i -13 .(i16 )= i3 = -i OR i -13 = 1 i131 = i16 i131 = i3 = -i /‫مالحظة‬‫إذا‬‫اسس‬ ‫كانت‬i‫أ‬‫العدد‬ ‫نستبدل‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالبة‬ ‫صحيحة‬ ‫عداد‬(1)( ‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬i‫من‬ ‫لقوة‬ ‫مرفوع‬ ) ‫العدد‬ ‫مضاعفات‬(4)‫أكبر‬‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬(i). ‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬‫ألي‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬i:‫فمثال‬ √−16 = √16 .√−1 = 4 i √−25 = √25 .√−1 = 5 i √−12 = √12 .√−1 = 2√3 i √−15 = √15 .√−1 = √15 i :‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ √−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0 ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬c = a + bi‫المرتب‬ ‫للزوج‬ ‫مناظرا‬ ‫جعله‬ ‫يمكن‬(a , b):‫مثال‬ , 2 + 3i = (2,3) -1 + i = (-1 , 1) 2 = 2 + 0 i = (2,0) 3i = 0 + 3 i = (0,3) ‫مثال‬2/‫صورة‬ ‫على‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫أكتب‬a+bi: a) √−100 = √100 .i = 0 +10i b) -1 + √−3 = -1 + √3 i c) 1+√−25 4 = 1 4 + √−25 4 = 1 4 + 5i 4 d) -5 = -5 + 0 i ‫مثل‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬a‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬a + 0i‫او‬(a,0)‫عدد‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬ ‫اي‬ , :‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جزؤه‬ ‫مركب‬ 2]-[1‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬: ‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫مثال‬:(25 + 3i)+(7 - 12i) = 32 – 9i‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬32 – 9i‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫مركبا‬ ‫عددا‬ )ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مثال‬3/‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ل‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i b) 3 , 2 – 5 i c) 1 – 3 i , i /‫الحل‬ a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i /‫مالحظة‬‫ان‬ ‫اي‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬R ⊂ C. : ‫تعريف‬- ‫ليكن‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:)i2+ b1) + (b2+ a1(a=2c+1c :‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2+ b1(b,R∈)2+ a1(a.‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬ ∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬
  • 5. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ :‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀ 1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1+ c2c=2c+1c 2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3) + c2+ c1(c=)3+ c2(c+1c 3)( ‫الجمعي‬ ‫النظير‬Additive Inverse):-c ∈ ℂc = a + bi ∃,∀ c ∈ ℂ ‫حيث‬–c = -a-bi‫يسمى‬(-c)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬c. 4)( ‫الجمعي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬AdditiveIdentity):‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬e‫ويعرف‬∈ ℂe = 0 = 0 + 0i ‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫سبق‬ ‫مما‬(ℂ , +)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ ‫هي‬Commutative Group ‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i ‫مثال‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬∈ ℂ,x(2-4i)+x = 5+i /‫الحل‬ (2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i ‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫عملية‬ /‫الضرب‬:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫بصفتهما‬ ‫بضربهما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬ ‫من‬ ‫بدال‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريين‬ ‫مقدارين‬2 i‫العدد‬1)-(:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫كان‬ ‫اذا‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c:‫فان‬ c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2 = a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i /‫مثال‬ (2+5i).(3-4i) = 6 – 8i + 15i – 20 i2 i2 = -1 = 6 + 20 + 7i = 26 + 7i ‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬∈ ℂ26 + 7i‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫الضرب‬‫ان‬ ‫(اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ /‫مالحظة‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬ .‫الثاني‬ /‫مالحظة‬‫كان‬ ‫اذا‬k ∈ R,c = a + bi:‫فان‬kc = ka + kbi : ‫تعريف‬- ‫ليكن‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬: c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i :‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2b.1b-2a.1a(,R∈)1b.2a+2b.1a(‫مجموعة‬ ‫الن‬R‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلق‬ ‫فان‬ ‫لذلك‬ ‫الضرب‬ℂ∈2c.1c‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬
  • 6. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ :‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀ 1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1cX2c=2cX1c 2)‫الخاصية‬( ‫التجميعية‬Associativity):3c)2c.1c)=)3c.2(c.1c 3)( ‫الضربي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬Multiplicative Identity‫)وهو‬1=(1+0i) 4)‫الضربي‬ ‫النظير‬(Multiplicative Inverse:)∀ c ≠(0+0i) , ∃ 1 c ∈ ℂ‫بحيث‬ 1 c = (1+0i)c x ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫عد‬‫ا‬‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬ 1 c .‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ :‫ان‬ ‫اي‬(ℂ - (0+0i), X)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ :‫ان‬ ‫اي‬(ℂ,+,X)‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫يسمى‬ ‫حقل‬ ‫مثال‬6/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ 1) (3+4i)2 2) i(1+i) 3) − 5 2 (4+3i) 4) (1+i)2 + (1-i)2 5) (1+i)3 + (1-i)3 /‫الحل‬ 1) (3+4i)2 = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i .‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نجمع‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫مالحظة/نستخدم‬ 2) i(1+i) = i + i2 = -1 + i ‫توزيع‬ ‫مالحظة/يتم‬i‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫على‬(1+i). 3) − 5 2 (4+3i) = -10 - 15 2 i 4) (1+i)2 + (1-i)2 = (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0 ‫مالحظة/نفتح‬‫االقواس‬.)‫الحدانية‬ ‫(مربع‬ 5) (1+i)3 + (1-i)3 = (1+i)2 (1+i) + (1-i)2 (1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4 ‫االعتماد‬ ‫مالحظة/يكون‬.‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫على‬ /‫مالحظة‬‫ليكن‬k ∈ R,c ∈ ℂ‫حيث‬c=a+bi:‫فان‬ 1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi 2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai
  • 7. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬7/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ]3-[1:‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ :‫ا‬‫ال‬‫فمث‬3+i‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬3-i‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬(i)‫هو‬(-i)‫وبالعكس‬,‫وان‬5-4i‫مرافق‬5+4i ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬0‫هو‬0.‫وبالعكس‬ ‫مالحظة‬1:‫االتية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫انه‬ ‫المرافق‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫يتضح‬ / 1) 𝐜 𝟏 ± 𝐜 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 ± 𝐜̅2 2) 𝐜 𝟏 . 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜 𝟏̅̅̅ . 𝐜 𝟐̅̅̅ 3) ( 𝐜 𝟏 𝐜 𝟐 ) ̅̅̅̅̅ = ( 𝐜 𝟏̅̅̅ 𝐜 𝟐̅̅̅ ) 4) c 𝐜̅ = a2 + b2 ‫فان‬ c = a+bi ‫كان‬ ‫اذا‬ 5) 𝐜̅ = 𝐜 ‫فان‬ c ∈ 𝐑 6) c + 𝐜̅ = 2a 7) 𝐜̅̅ = c ‫مالحظة‬2:‫القسمة‬ ‫عملية‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ ‫تفيدنا‬ / c1 ÷ c2 = c1 . 1 c2 , c1 , c2 ∈ ℂ ‫مالحظة‬3/‫إلجراء‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬c1‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫على‬2c‫حيث‬0≠2c‫فإننا‬‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ومقام‬‫المقدار‬ 𝐜 𝟏 𝐜 𝟐 :‫فيكون‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ c1 c2 = c1 c2 ( c2̅̅̅ c2̅̅̅ )= c1.c2̅̅̅ c2.c2̅̅̅ = c1.c2̅̅̅ a2+b2 ً‫ال‬‫مث‬: )‫(الجبرية‬ ‫العادية‬ ‫بالصورة‬ ‫ضع‬ : 2+3i 4−5i /‫الحل‬‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬(4+5i): 2+3i 4−5i = 2+3i 4−5i . 4+5i 4+5i = (2+3i)(4+5i) 42+52 = 8+12i+10i−15 16+25 = −7+22i 41 = −7 41 + 22i 41 ‫مثال‬7/‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 32= 1 + i , c1c:‫ان‬ ‫فاثبت‬ a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2 b)c1 . c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2 c) ( c1 c2 ) ̅̅̅̅̅ = ( c1̅̅̅ c2̅̅̅ ) /‫الحل‬ a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4 + i c̅1 + c̅2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏 + 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 + 𝐜̅2 b) c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2 c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = 5 – i c̅1 . c̅2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏. 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 . 𝐜̅2 : ‫تعريف‬-‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬c = a + bi‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫هو‬c̅ = a - biR ,∀ a , b ∈ ‫مال‬‫مركبين‬ ‫عددين‬ )‫(ضرب‬ ‫عند‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ /‫حظة‬ .‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مترافقين‬
  • 8. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬08/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 c) ( c1 c2 ) ̅̅̅̅̅ = ( c1̅̅̅ c2̅̅̅ ) c1 c2 = 1+ i 3 − 2i = (1+ i)(3+ 2i) 9+4 = 3+3i+2i−2 13 = 1+5i 13 = 1 13 + 5i 13 ⇒ ( c1 c2 ) ̅̅̅̅̅̅ = 1 13 - 5i 13 c1̅̅̅ c2̅̅̅ = 1− i 3+ 2i = (1− i)(3− 2i) 9+4 = 3−3i−2i−2 13 = 1−5i 13 = 1 13 - 5i 13 ∴ ( 𝐜 𝟏 𝐜 𝟐 ) ̅̅̅̅̅ = ( 𝐜 𝟏̅̅̅ 𝐜 𝟐̅̅̅ ) ‫مثال‬8/‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬2-2i.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬ /‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬‫للعدد‬2-2i‫هو‬ 1 2− 2i 1 2− 2i = 1 2− 2i . 2+ 2i 2+ 2i = 2+ 2i 4+4 = 2 8 + 2i 8 = 1 4 + 1 4 i ‫في‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬ ‫التحليل‬ℂ ‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫صورة‬ ‫على‬ )‫(المقدار‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬ : ‫هي‬ ‫التحليل‬ ‫فكرة‬2 + y2 x‫بـ‬ ‫احدهما‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬)2 i-(‫فيصبح‬ .‫تحليله‬ ‫فيتم‬ ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫المقدار‬ x2 + y2 = x2 - y2 i2 = (x - yi)(x + yi) ‫مثال‬9/‫من‬ ‫كل‬ ‫حلل‬‫االعداد‬53 , 10,0.65‫صورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬a,b.‫نسبيين‬ ‫عددين‬ /‫الحل‬ 10 = 9 + 1 = 32 + 12 = 32 - 12 i2 = (3 – i)(3+i) ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫تحليل‬ ‫مربعين‬ ‫مجموع‬ (-i2 ) ‫بـ‬ ‫نضرب‬ 53 = 4 + 49 = 22 + 72 = 22 - 72 i2 = (2–7i) (2+7i) 0.65 = 0.49 + 0.16 = 0.49 - 0.16 i2 = (0.7–0.4i) (0.7+0.47i) ‫تساوي‬‫عددين‬‫مركبين‬ ‫وتساوى‬ ‫الحقيقيان‬ ‫جزءاهما‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬ ‫المركبان‬ ‫العددان‬ ‫يتساوى‬ ‫اي‬‫وبالعكس‬ ‫التخيليان‬ ‫جزءاهما‬. ‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬x‫و‬y:‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقيقيتين‬ 1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 2 = y+1 ⇒ y = 1 .)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ .‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬ 2) 3x – 4i = 2 + 8yi 3x = 2 ⇒ x = 2 3 -4 = 8y ⇒ y = −1 2 3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i 2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y = −9 2 -(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1 ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬2 + 2i : ‫تعريف‬-: ‫كان‬ ‫اذا‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫فان‬:2= b1, b2= a1a⇔2c=1c
  • 9. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬00/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i (x + yi) = 5 – 3i 3 + 2i = 5 – 3i 3 + 2i . 3− 2i 3− 2i ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ (x + yi) = 15−9i−10i−6 9+4 = 9−19i 13 = 9 13 − 19 13 i x = 9 13 , y = − 19 13 5) x−yi (3+i)2 = 1 − 2i ⇒ x − yi = (1 − 2i)(3 + i)2 ‫طرفين‬ ‫في‬ ‫وسطين‬ = (1 − 2i)(9 + 6i − 1) = (1 − 2i)(8 + 6i) = (8 + 6i − 16i − 12 i2) = (20 − 10 i) ∴ x = 20 & y = 10 6) 3−2i i , x−yi 1+5i ‫مترافقان‬ ‫ليكن‬c = x−yi 1+5i ∵ c = x−yi 1+5i ⇒ ∴ c̅ = x+yi 1−5i ( c1 c2 ) ̅̅̅̅̅ = ( c1̅̅̅ c2̅̅̅ ) ‫الن‬ ∴ x+yi 1−5i = 3−2i i ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫المرافقين‬‫متساويان‬ (x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬ xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i -y = -7 ⇒ y = 7 x = -17 ‫التمارين‬ ‫حلول‬1–1 8)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬∀ n ∈ N: 1. i5 = i4 . i = i = 0 + i 2. i6 = i4 . i2 = -1 = -1 + 0i 3. i124 = (i4 )31 = 1 = 1 + 0i 4. i999 = i996 . i3 =(i4 )247 . i3 = -i = 0 - i 5. i4n+1 = i4n . i = i = 0 + i 6.(2 + 3i)2 + (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i 7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -80 + 60i 8.(1 + i)4 - (1 - i)4 = ((1 + i)2 )2 – ((1 - i)2 )2 = (1 + 2i -1)2 – (1 – 2i -1)2 = (2i)2 – (-2i)2 = -4 –(-4)=0 = 0 + 0i 9. 12+i i = 12+i i . −i −i = −12i− i2 −i2 = −12i+1 1 = 1 – 12i 10. 3+4i 3−4i = 3+4i 3−4i .3+4i 3+4i = 9 +12i+12i−16 9+16 = −7+24i 25 = −7 25 + 24 25 i
  • 10. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬01/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 11. i 2+3i = 0+i 2+3i . 2−3i 2−3i = 0+2i−0+3 4+9 = 3+2i 13 = 3 13 + 2 13 i 12. ( 3+i 1+i ) 3 = ( 3+i 1+i . 1−i 1−i ) 3 = ( 3+i−3i+1 1+1 ) 3 = ( 4−2i 2 ) 3 =(2 − i)3 =(2 − i)2 . (2 − i)=(4 − 4i − 1). (2 − i) =(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i 13. 2+3i 1−i . 1+4i 4+i = 2+3i+8i−12 4−4i+i+1 = −10+11i 5−3i = −10+11i 5−3i . 5+3i 5+3i = −10+11i 5−3i . 5+3i 5+3i = −50+55i−30i−33 25+9 = −83+25i 34 = −83 34 + 25i 34 14. (1 + i)3 + (1 - i)3 = (1 + i)2 .(1 + i) + (1 - i)2 .(1 - i) = (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i) = 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i 2)‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬y , x:‫االتية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i) /‫الحل‬ y + 5i = 2x2 + xi + 4xi - 2 ‫االقواس‬ ‫نضرب‬ y + 5i = 2x2 + 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2 – 2) + 5xi :‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ 5x = 5 ⇒ x = 1 y = 2x2 – 2 = 2 – 2 = 0 b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1 /‫الحل‬:‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬ -1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i :‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ -1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 …… 8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .… ‫نعوض‬‫قيمة‬y‫من‬‫معادلة‬‫في‬: xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2 = 3 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0 ∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1 x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3 c) ( 1−i 1+i ) + (x+yi) = (1+2i)2 /‫الحل‬ ( 1−i 1+i . 1−i 1−i ) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ ( 1−i−i−1 1+1 ) + (x+yi) = -3 + 4i ( −2i 2 ) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i (x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i
  • 11. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬07/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 :‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ ∴ x = -3 , y = 5 d) 2−i 1+i x + 3−i 2+i y = 1 i /‫الحل‬ ( 2−i 1+i . 1−i 1−i ) x + ( 3−i 2+i . 2−i 2−i ) y = 1 i ⇒ ( 2−i−2i−1 1+1 ) x + ( 6−2i−3i−1 4+1 ) y = i4 i ( 1−3i 2 ) x + ( 5−5i 5 ) y = i3 ⇒ ( 1−3i 2 ) x + ( 5−5i 5 ) y = - i ( 1 2 − 3i 2 ) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒ 1 2 x − 3x 2 i + y - yi = 0 - i ( 1 2 x + y) + ( −3x 2 − y) i = 0 - i :‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ 1 2 x + y = 0 ……  −3x 2 − y = -1 ……… ‫بالجمع‬--------------------- -x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1 ‫في‬ ‫نعوض‬‫قيمة‬ ‫لنجد‬y: 1 2 . 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = − 1 2 7):‫ان‬ ‫اثبت‬ a) 1 (2−i)2 − 1 (2+i)2 = 8 25 i L.H.S = 1 4−4i−1 − 1 4+4i−1 = 1 3−4i − 1 3+4i = 1 3−4i . 3+4i 3+4i − 1 3+4i . 3−4i 3−4i = 3+4i 9+16 − 3−4i 9+16 = 3+4i−(3−4i) 25 = 3+4i−3+4i 25 = 8 25 i = R.H.S b) (1−i)2 1+i + (1+i)2 1−i = −2 2882‫دور‬‫ثالث‬ L.H.S = 1−2i−1 1+i + 1+2i−1 1−i = −2i 1+i + 2i 1−i = −2i 1+i . 1−i 1−i + 2i 1−i . 1+i 1+i = −2i−2 1+1 + 2i−2 1+1 = −2i−2 2 + 2i−2 2 = -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S c) (1 – i) (1 – i2 )(1 – i3 ) = 4 L.H.S = (1 – i) (1 – i2 )(1 – i3 ) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i) = 2(1 – i) (1 + i) ‫مرافقين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ = 2(1 + 1) = 4 = R.H.S i2 = -1 i3 = - i
  • 12. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬04/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 4)‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬03,48,823,27‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬b , a .‫نسبيان‬ ‫عددان‬ a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2 = (9-2i)(9+2i) OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2 = (2-9i)(2+9i) OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2 = (7-6i)(7+6i) b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2 = (5-4i)(5+4i) c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2 = (11-2i)(11+2i) OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2 = (10-5i)(10+5i) d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2 = (5-2i)(5+2i) 3)‫قيمة‬ ‫جد‬y , x‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫الحقيقيتين‬ 6 x+yi , 3+i 2−i .‫مترافقان‬ /‫الحل‬‫نفرض‬c = 3+i 2−i c = 3+i 2−i ⇒ c̅ = 3−i 2+i ( c1 c2 ) ̅̅̅̅̅ = ( c1̅̅̅ c2̅̅̅ ) ‫الن‬ 6 x+yi = 3−i 2+i ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬ x + yi = 6(2+i) (3−i) = 12 + 6i 3−i . 3+i 3+i = 36 + 12i+18i−6 9+1 = 30 + 30i 10 = 3+ 3i ∴ x = 3 & y = 3 ‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ ‫س‬8‫العدد‬ ‫اكتب‬ /1-4n i: ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ i4n-1 = i4n .i-1 = i-1 = i-1 .i4 = i3 = 0 – i ‫س‬2‫ان‬ ‫اثبت‬ / 3i √2+i − 3i √2−i = 2 /‫الحل‬ L.H.S = 3i √2+i − 3i √2−i = 3i √2+i . √2−i √2−i − 3i √2−i . √2+i √2+i = 3√2 i+3 2+1 − 3√2 i−3 2+1 = 3√2 i+3 3 − 3√2 i−3 3 = (√2i + 1) − (√2i − 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2 = R.H.S OR: L.H.S = 3i √2+i − 3i √2−i = 3i(√2−i)−3i(√2+i) (√2+i) (√2−i) = 3√2 i+3− 3√2 i+3 2+1 = 6 2+1 = 2 =R.H.S ‫س‬7/‫كان‬ ‫اذا‬ 5 x+yi ‫و‬ 2+i 3−i ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬x , y‫الحقيقيتين‬.(2882‫دور‬8) ‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغى‬ ‫ضع‬5 i)-+ (15 (1 + i).(2882‫دور‬2)
  • 13. [ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬05/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 4]–[1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬‫كان‬ ‫اذا‬a‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬ ‫موجبا‬ ‫حقيقيا‬ ً‫ا‬‫عدد‬±√a ‫المعادلة‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫يحقق‬= a2 x‫ويسمى‬±√a‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬a. : ‫مثال‬5±x =⇒= 252 x‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬a = 0‫هو‬ ‫واحد‬ ‫تربيعي‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫فان‬8 ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬c = a+bi‫الصورة‬ ‫من‬ ‫تربيعيين‬ ‫جذرين‬x+yi. ‫مثال‬11/‫من‬ ‫لكل‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-25‫و‬-17. /‫الحل‬ a) c2 = -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i b) c2 = -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i :‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫اليجاد‬ 8-‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬a+bi. 2-‫اخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬x+yi. 7-: ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫ومن‬ ‫معادلتين‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ‫نأخذ‬ a.= ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬2 y-2 x. b.= ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬2xy. 4-‫اليجاد‬ ً‫ا‬‫اني‬ ‫المعادلتين‬ ‫نحل‬x , y ∈ R. ‫مثال‬12/:‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 1) -3 + 4i c = -3 + 4i ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi ∴ x + yi = √−3 + 4i (x + yi)2 = -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ x2 + 2xyi – y2 = -3 + 4i ⇒ )x2 – y2 ( + (2xy) i = -3 + 4i :‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ 2xy = 4 ⇒ y = 4 2x ⇒ y = 2 x …..❶ x2 – y2 = -3 ……..❷ ‫نعوض‬❶‫في‬❷: x2 – ( 2 x ) 2 = -3 ⇒ x2 – 4 x2 = -3 x4 – 4 = -3x2 x2 ‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬ x4 + 3x2 – 4 = 0 ⇒ (x2 - 1)(x2 + 4) = 0 x2 + 4 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬ x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 ‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶: x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i : ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)
  • Similar documents
    View more...
    We Need Your Support
    Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

    Thanks to everyone for your continued support.

    No, Thanks