第四章 二元关系和函数

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第四章 二元关系和函数. 本章主要内容 :. 集合的笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数. 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系. 定义 4.1 由两个元素 x 和 y ( 允许 x = y ) 按一定的 顺序 排列成的 二元组 叫做一个 有序对 ( 也称 序偶 ), 记作 < x , y >, 其中 x 是它的第一元素 , y 是它的第二元素。

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第四章 二元关系和函数 本章主要内容:
  • 集合的笛卡尔积与二元关系
  • 关系的运算
  • 关系的性质
  • 关系的闭包
  • 等价关系和偏序关系
  • 函数的定义和性质
  • 函数的复合和反函数
  • 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。 平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例如,<1,-1 >,<2,0>,(1,1), (-1,1) ,…都代表坐标系中不同的点。 有序对的特点: 1.当xy时,<x,y><y,x>。 2.两个有序对相等,即 <x,y>=<u, v> 的充分必要条件是x=u且y=v。 定义4.2 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元素是一个有序n-1元组,一个有序n元组记作<x1,x2,…, xn>,即 <x1,x2,…, xn>= < <x1,x2,…, xn-1>, xn> 例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,-1,3>,<2,4.5,0>等 都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。 定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作A×B。符号化表示为 A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}. 例如,A={a,b},B={0,1,2},则 A×B ={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; B×A ={<0,a>,<0,b>, <1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。 如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素? mn个 若<x,y>A×B,则有 x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有 xA或者y B. 笛卡儿积运算的性质: 1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 B=B×= 2.当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.当A,B,C都不是空集时,有 (A×B)×C≠A×(B×C). 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。 4.笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C); (B∪C)×A =(B×A)∪(C×A); A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C); (B∩C)×A =(B×A)∩(C×A)。 证明 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 证明 对于任意的<x,y>, <x,y>A×(B∪C)  x∈A∧y∈B∪C  x∈A∧(yB∨y∈C)  (x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C)  <x,y>A×B∨<x,y>∈A×C  (x,y)∈(A×B)∪(A×C). 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 例4.1设A={1,2},求P(A)×A 解 P(A)×A ={,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ={<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>} 例4.2设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。 (1) (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D); (2) (A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D); (3) (A—B)×(C—D)=(A×C)-(B×D); (4) (AB) ×(CD) =(A×C)  (B×D)。 解.(1)成立.因为对于任意的<x,y>, <x,y>(A∩B)×(C∩D)  xA∩B∧yC∩D  xA∧xB ∧yC∧yD  <x,y>A×C∧<x,y> B×D  <x,y>(A×C)∩(B×D) (2)不成立。 举一反例如下:若A=D=,B=C={1} 则有: (A∪B)×(C∪D)=B×C={<1,1>}, (A×C)∪(B×D)=∪=。 (3)和(4)都不成立 例4.3设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假. (1)若AC且BD,则有A×BC×D。 (2)若A×BC×D,则有AC且BD. 解(1)命题为真。请思考:为什么? (2)命题为假.当A=B=时,或者A≠且B≠时,该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令A=C=D=,B={1},这时A×BC×D,但BD。 定义4.4 设A1,A2, … , An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡儿积,记作A1×A2×…×An,其中 Al×A2×…×An={<x1,x2,…xn>|x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}。 例如: A={a,b},则 A3= {<a,a,a>,<a,a,b>, <a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>, <b,b,a>,<b,b,b>} 二元关系Relation 所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性. 例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记作 {<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系. 例子.有A,B,C三个人和四项工作α,,,,已知A可以从事工作α,δ,B可以从事工作,C可以从事工作α,。那么人和工作之间的对应关系可以记作 R={<A,α>,<A,δ>,<B,>,<C,α>,<C,>}。 这是人的集合{A,B,C}到工作的集合{α,,,}之间的关系。 定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关系,一般记作R。 对于二元关系R, 如果<x,y>∈R,则记作xRy; 如果<x,y>R,则记作 定义4.6 设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别当A=B时,则叫做A上的二元关系。 关系RAB, R is a relation from A to B. RAA, R is a relation on A. A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2 每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系. 对于任何集合A都有3种特殊的关系: 其中之一就是空集,称做空关系。 另外两种就是全域关系EA和恒等关系IA。 定义4.7 对任何集合A, EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A。 IA={<x,x>|x∈A}。 例如:A={0,1,2},则 EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>} IA={<0,0>,<1,1>,<2,2)}。 常用的关系:小于等于关系、整除关系 例如: 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y} 设B为正整数集Z+的某个子集,则B上的整除关系定义为 DB={<x,y>|x,y∈B∧xy}. 例如: A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6},则 LA= {<-1.-1>,<-1.0.5>, <-1,4>.<0.5,0.5>, <0.5,4>,<4,4>} DB= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,2>,<2,6>, <3,3>,<3,6>, <6,6>}. 例4.4设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,y∈P(A)∧xy>, 则有 P(A)={,{a},{b},A}。 R= {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,< {b},A>,<A,A>}. 有穷集A上的关系R, 可用关系矩阵和关系图给出。 设A={1,2,3,4}, A上的关系 R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>} 。 R的关系矩阵和关系图如图 关系矩阵和关系图 关系矩阵和关系图 设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令V=A={x1,x2,···,xn},如果xiRxj,则有向边<xi,xj>∈E.那么G=<V,E>就是R的关系图。 设A={x1,x2,···,xn},R是A上的关系, 则R的关系矩阵可表示为: 4.2 关系的运算
  • 关系R的定义域,值域和域
  • 关系F的逆
  • 关系F与G的合成
  • 关系F在集合A上的限制
  • 集合A在关系F下的象
  • 关系R的n次幂
  • 定义4.8 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR分别是 domR={xy(<x,y>∈R)} ranR={y| x(<x,y>∈R)} fldR=domR∪ranR。 domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合. 例:实数集R上的关系S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1}, domS=ranS=fldS=[-1,1]. 例4.5下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域, (1)R1={<x,y>|x,y∈Z∧x≤y}; (2)R2={<x,y>|x,y∈Z∧x2+y2=1}; (3)R3={<x,y>|x,y∈Z∧y=2x}; (4)R4={<x,y>|x,y∈Z∧ x=y=3}。 解 (1) domR1=ranR1=Z. (2) R2={<0,1 >,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ranR2={0,1,-1}. (3) domR3=Z ranR3={2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4=ranR4={-3,3}. 从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图) 1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或集合B). 2.从x到y画一个箭头,如果<x,y>∈R 逆、合成、限制和象 定义4.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 F-1={<x,y>|yFx}. (2)F与G的合成记作F◦G, F◦G,={<x,y>|z(xGz∧zFy)} (3)F在A上的限制记作 F A F A={<x,y>|xFy∧x∈A}. (4)A在F下的象记作F[A], F[A]=ran (F A) 例4.6设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,y∈N∧y=x2 } G={<x,y>|x,y∈N∧y=x+1}。 解:1) 2)对任何的x∈N有 则 所以 由这个例子不难看出,合成运算不是可 交换的,即对任何关系F,G,一般说来 F◦G≠G◦F. 关系的基本运算的主要性质 定理4.1设F,G,H是任意的关系,则有
  • (3)(F◦G) ◦H=F◦ (G◦H)
  • (4)
  • 怎样证明?
  • 定理4.2设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F  H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F  G◦F  H◦F 怎样证明? 定义4.10 设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂规定如下: R0=IA R1=R0◦R=R ◦ R0 在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法:
  • 1.集合运算:依据定义
  • 2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算M·M,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素rij满足下式(i,j=1,2,3,4) rij = ri1 · r1j + ri2 · r2j + ri3 · r3j + ri4 · r4j 这里的加法+是逻辑加,即 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 3.关系图:对R的关系图G中的任何一个结点x,考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y的有向边.
  • 定理4.3 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面的等式成立. 4.3 关系的性质
  • 设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种:
  • 自反性、
  • 反自反性、
  • 对称性、
  • 反对称性
  • 传递性。
  • 判断下列关系的性质
  • 集合A上的全域关系: 自反的、对称的和传递的
  • 恒等关系 自反的、对称的和传递的.
  • 整除关系 自反的、反对称的和传递的
  • 小于等于关系 自反的、反对称的和传递的
  • 幂集上的包含关系 自反的、反对称的和传递的
  • 设A为非空集合:
  • 1.A上的关系可以是①自反的, ②反自反的,或者③既不是自反的也不是反自反的.
  • 例如:Q={1,2,3},令
  • A={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} IQ R
  • B={<2,3>,<3,2>} IQR=
  • C={<1,1>,<2,2>} IQR≠且IQR
  • 2. A上的关系可以是①对称的, ②反对称的,或者③既是对称的又是反对称的, ④既不是对称的也不是反对称的.
  • 例如:Q={1,2,3},令
  • A={<1,2>,<2,1>,<3,3>} R-1=R
  • B={<1,2>,<1,3>} RR-1 IQ
  • C={<1,1>} RIQ
  • D= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}
  • R◦RR是什么关系?
  • 例4.9 试判断图4.5中关系的性质。 设R1,R2是A上的关系,如果经过某种运算后仍保持原来的性质,则在相对应的格内划√,否则划×。 例:设R1,R2为A上的对称关系,证明R1∩R2也是A上的对称关系。 证明:对于任意的<x,y> <x,y> R1∩R2  <x,y>  R1<x,y>  R2  <y,x>  R1<y,x> R2  <y,x> R1 R2 所以, R1R2在A上是对称的。 例: R1, R2是A上的反对称关系, A={x1, x2}, R1={< x1, x2 >}, R2 ={< x2, x1 >},R1∪ R2 ={< x1, x2 >, < x2, x1 >}不是A上的反对称关系. 作业
  • 证明表4.2的反对称性和传递性
  • P105 4.1 4.2 4.3 4.4
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