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《 数学模型 》. 主编:梁海江. 制作人:崔英健 游亚新. 下一页. [数学模型]. 数学建模绪论. 数学建模绪论. 初等模型. 初等模型. 微分方程模型. 微分方程模型. 网络模型. 网络模型. 上一页. 下一页. 规划模型. 规划模型. 概率统计模型. 概率统计模型. 《数学建模》绪论. 回首页. 数学建模的意义. 数学建模概述. 上一页. 下一页. 内容简介. 教学安排. “数学建模”课程的意义. 关于 “ 数学建模 ” 学习 “ 数学建模 ” 课程的必要性 “数学建模”课程的教学模式 教学内容、教学手段及教学环节

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《数学模型》 主编:梁海江 制作人:崔英健 游亚新 下一页 [数学模型] 数学建模绪论 数学建模绪论 初等模型 初等模型 微分方程模型 微分方程模型 网络模型 网络模型 上一页 下一页 规划模型 规划模型 概率统计模型 概率统计模型 《数学建模》绪论 回首页 数学建模的意义 数学建模概述 上一页 下一页 内容简介 教学安排 “数学建模”课程的意义
  • 关于“数学建模”
  • 学习“数学建模”课程的必要性
  • “数学建模”课程的教学模式
  • 教学内容、教学手段及教学环节
  • 学习“数学建模”课程对学生能力的培养
  • 返回 关于“数学建模” 即将到来的21世纪是一个充满竞争地时代,竞争的关键是人才培养的竞争。因此,我国教育面临重大的机遇和严峻的挑战。传统高工专的数学教学在强调理论系统性的同时存在知识旧,内容单调和理论脱离实际的缺陷,迫切需要加以改革。飞速发展的现代科技与生产具有系统思维,实践能力和创造精神的高科技人才,掌握信息技术和善于解决实际问题是他们必备的素质。 返回 关于“数学建模” 80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求而出现的新生事物。在国家教育部高教司的领导和支持下,提出在全国普通高校开展数学建模竞赛,旨在“培养学生解决时间问题的能力和创造精神,全面提高学生的综合素质”。现在,全国大学生数学建模竞赛正在健康、迅速的向前发展,受到广大同学的热烈欢迎。 关于“数学建模” 在竞赛过程中,大学生的聪明才智和创造精神得到了充分的发挥,提交了不少出色的答卷,涌现了一批优秀的参赛队。这一活动有力的促进了高等学校的数学教学改革, 数学建模竞赛的兴起是有深刻背景的。近几十年来,数学迅速向自然科学和社会科学的各个领域渗透,在工程技术、经济建设及金融管理等各个方面发挥着越来越重要的作用。 关于“数学建模” 数学与计算机技术相结合,形成了一种普遍的、 可以实现的关键技术----数学技术,并已成为当 代高新技术的一个重要组成部分。而用数学解决 各类问题和实施数学技术,数学建模均起这关键 的作用。因此,为新世纪培养高质量、高层次人 才,就不能不重视培养数学建模这一必备技能和 素质,对理工、经济、管理学科,甚至一些人文 、社会学科的大学生,都应该提出这方面的要求, 关于“数学建模” 而大学生数学建模竞赛活动就应运而生了。数学 与计算机技术相结合,形成了一种普遍的、可以 实现的关键技术----数学技术,并已成为当代高新 技术的一个重要组成部分。而用数学解决各类问 题和实施数学技术数学建模竞赛不是纸上谈兵,它的 题目是从实际问题中提炼出来的。解决这些问题,往往没有现成的方法可以套用,他首先要求将实 际的问题数学化,及建立数学模型。 关于“数学建模” 参赛同学必须像参加一个实际的科研项目那样, 不仅要充分发挥每个人的主观能动性和创造力, 而且要全队密切配合、协同作战,才能尽善尽美 地作出解答。这在课堂学习中往往是难以做到的。 正因为如此,这项活动才具有强大的生命力,并 必将不断发展,日臻完善。数学建模竞赛地开展, 推动和促进了各类数学建模课程地开展,并培养 了一批优秀的教练员和组织工作者。 关于“数学建模” 一些经典的数学课程也开始反朴归真、恢复和补 充了许多数学建模的内容。在竞赛的推动下,不 少学校除了开设数学建模课程之外,还对整个数学课程体系提出了种种改革方案。目前一些学校计划开设数学实验课和筹备建设数学实验室的尝试。应该说与数学建模竞赛地开展有密切的关系。所有这些都是对数学课程体系和教学内容改革的积极实践。相信数学建模竞赛和数学教学改革将进一步相互促进,共同发展,不断开创新的局面。 关于“数学建模” 自97年以来,我们面向全校开出了“数学建模”课 程和培训,近一百多人接受了数学建模教学,五 十余人经过了一系列专门模块式的教学培训及校 内选拔,三十人参加了国内外数学建模竞赛。已 取得了明显的效果。凡经过数学建模培训的学生 均表现出了较强的综合能力与素质。据统计,绝 大多数同学的成绩优秀,很快找到了工作,在工 作中绝大多数学生为用人单位重用。 关于“数学建模” MCM获奖情况是效果的很好检验。我校是河南 这几年唯一参加全国大学生数学建模竞赛的高工 专学校,也是全国唯一参加美国大学生数学建模 竞赛的高工专学校。自97来共获奖十三项奖励,先后取得了河南赛区一等奖一个,二等奖五个, 成功参赛奖三个;取得美国MCM了二等奖一个,成功参赛奖一个。 返回 学习“数学建模”课程的必要性 高工专数学教育应使未来的工程技术人才具有一定的数学基础,包括数学知识和数学能力。和国内许多高工专学校的数学课程主要是由高等数学、线性代数、概率等几部分组成,课程内容存在重经典、轻现代,重连续、轻离散,重分析推导、轻数值计算,重运算技巧、轻数学思想方法的趋向,而且各部分内容自称体系,过分强调各自的系统性与完整性,缺乏应用型和相互联系。 返回 学习“数学建模”课程的必要性 有必要增加数学建模和数学实验课程,补充数学 其它分支的有关内容,处理好经典数学与现代数 学的关系,是工科数学课程的设置和教材内容, 能符合时代的发展和培养现代化工程技术人才的 要求。在这种体系下,不仅需要大量的教学时数 ,而且不利于学生综合利用数学知识能力的培养, 联系实际的领域也不够宽阔。 学习“数学建模”课程的必要性 数学建模的培训和竞赛活动告诉我们,培养学生 将实际问题归结为数学问题,并能运用数学知识 求解,是每一个工科学生走向工程技术岗位所必 需的能力。而把数学建模的收益面推广到全体工 科学生,仅靠现行的课程体系是不行的。在传统 的数学课程教学中,过分强调严格的定理和抽象 的逻辑思维,特别是重运算技巧的训练,对工科 学生则常常只要求套现成的公式及作繁琐的计算。 学习“数学建模”课程的必要性 在学生毕业以后,不会或者意识不到可以应用数学工具去解决他们各自领域的问题。现在重要的是让广大的工程技术和经济管理等专业的学生,确实体会到数学是有用的,培养他们在今后的学习和工作中,主动地用数学工具分析和解专业中的实际问题的意识和能力。从根本上说,那些精通本专业知识,并且能够积极主动地应用计算机技术支持下的数学工具的各个领域的专家,才是 学习“数学建模”课程的必要性 真正的实现数学科学的技术转化,在经济竞争中 发挥其极大的潜力。计算机,特别是数学软件的 迅速发展对数学科学也产生了巨大的冲击,从观 念到研究方法都产生了巨大的影响并引起了激烈 的争论,使人们使用数学解决问题的方法发生了 显著变化,人们的工作将主要是分析问题,明确处 理方法, 规划解决问题的途径,操作指挥计算机 进行工作,改变传统数学的“粉笔加黑板”的教 学习“数学建模”课程的必要性 学方式。把计算机引入数学课程教学,对于突出 应用和动手能力的高工专学校,利用数学建模作 为突破口,进行数学课程改革是时代的发展的必 然趋势。 返回 “数学建模”课程的教学模式 几年来,我们以面向信息时代,以培养具有 综合素质的竞争性人才为目标,以数学建模教学 为突破口,针对传统数学教学模式的弱点,推动 高工专数学的教学内容,教学手段及教学环节改 革方面进行了深入的探索,总结出了多轨并 返回 “数学建模”课程的教学模式 行教学模式,在教学内容、方法、实施计划及教 材方面已形成了初步体系。取得了可喜的成果。 工程技术人员所面临的都是实际问题的原貌,而 非某种简化或抽象的形式。学生及工程技术人员 通常所处的困境是不能顺利的将以原始形式的实 际问题转化为他们所熟悉的数学形式或数学模型。 这正是暴露了高工专数学的一个严重的薄弱环节 。数学模型是实际课题、数学知识与计算机之间 “数学建模”课程的教学模式 的桥梁或接口。我们在数学建模教学中逐步摸 索出了一套“多轨并行”的教学模式,从多轨上, 我们将数学知识的学习与计算机教学通过案例分 析有机的结合起来组织教学,而各种案例多数是 数学与其他专业知识的交叉,具有很强的实际背 景。从流程上,我们将教学划分为四个阶段: 即数学模型+计算机+研讨练习+校内、外竞赛。 其特点如下: “数学建模”课程的教学模式 数学建模教学是数学知识与应用能力共同提高的最佳结合点。它有助于传统数学教学中知识与能力脱节的弊端。数学建模课程具有系统性强、练习实际的宽阔、实际案例的分析占有较大比重的特点。培养的学生来自多个专业。在组织教学中,我们注意诱导学生应用数学的意识、兴趣和能力。这对提高学生运用数学知识与计算机解决问题的能力起到了积极作用。 。 “数学建模”课程的教学模式 在数学建模教学中及时引入新的数学方法和工具。 如定性与定量相结合的层次分析法、统计法,还 有能够处理非结构化问题的模糊数学和神经网络 方法及数学软件包等。同时,我们还注意培养学 生自我开拓的能力,使学生有效的接受不断涌现 的新概念、新思想和新方法。在教学中开展的研 讨班是有意识的发挥学生的“参与”意识,在研讨 班上,教师与学生地位平等,共同讨论,对学生 “数学建模”课程的教学模式 的口头表达,快速反应勇于发表自己的见解将是一个很好的锻炼。由于不同知识结构的学生聚在 一起相互讨论,彼此的知识可互相补充,往往会 产生许多新颖的思想火花与不同见解,经过争论而达到共识。使学生的学习变“被动”为“主动”,主动参与“教”与“学”,这极大的调动了学生自觉学习各种知识的积极性。对后续课程的学习产生重要 的影响。 “数学建模”课程的教学模式 组织“综合训练”的教学,实际上是向学生实施一 项科研工作的模拟训练,它也是学生毕业设计的重要补充。如教师准备实际课件,学生要经过查 阅资料、分析并合理假设、多方案选择建立模型、数值计算(使用软件包及编制程序)、检验并推 广、撰写论文、排版打印等研究过程,从而使学生应具有的应用数学知识能力、用计算机处理计 算的能力、系统思维能力与实践能力在“实战” “数学建模”课程的教学模式 中得以锻炼和提高。认真贯彻教育部提出的“重 在参与,重在普及”的精神,我们组织校内竞赛 选拔的目的是更多的学生参与数学建模学习、参 与竞争,亲身体验“一次参赛,终生收益”的效果,让学生普遍得到综合素质的提高,组织校外(国 内、国外)竞赛,有利于培养学生快速反应能力、创造性思维及竞争意识。参赛本身是参与全国乃 至国际的人才竞争,其目的也在于达成与国内外 “数学建模”课程的教学模式 相互交流,且与国际上的人才培养模式基本接轨。面对科学研究和工程实践的实际能力和综合素质 的培养问题,存在长期的争论和不同的主张。通 过开展数学建模教学与竞赛,我们总结了“三大能力,两个精神”,的经验。既培养学生从科研问题原形提升为数学模型的能力;快速反应能力及知 识自我开拓与更新的能力。培养学生竞争意识与 协作精神。重在学生实践能力和综合素质的培养, “数学建模”课程的教学模式 为长期争论不休的知识和能力的问题找到了一个 解决途径。 返回 教学内容、教学手段及教学环节 我国高工专数学至今基本上沿用前苏联50 年代的数学内容与体系。随着高科技及计算机 应用迅速发展越来越来显露出它们不适应现代 科技发展需要的弱点。通过高工专数学教学的 实践及展数学建模的集训与竞赛,我们深深感 到必须对传统内容进行重新审视、加以扬弃、 保留主要的基本内容、基本方法。,树立理论联 返回 教学内容、教学手段及教学环节 悉实际的思想和具有初步的分析,解决实际问题 的能力。选用《数学建模》(梁海江编)自编教 材,开设了数学建模选修课程,正式把数学建模 纳入到课程常规教学中。使学生对数学知识与应 用有整体的了解,从教学内容上扩大了学生的知 识范围与应用能力。目的是让学生在初学数学阶 段就接触一些实际问题。改革教学手段,充分发 挥计算机的作用。我们在数学建模教学及培训过 教学内容、教学手段及教学环节 程中,注意培养学生熟练使用软件包和进行数据 处理及计算的编程能力。将一些数学软件包(如 “Mathematica”、“Matlab”、“Mathcad”等)作为 常备软件,结合各自选修课内容传授给学生。这 极大的增强了学生面向信息时代应具有的现代科 技的计算机应用能力。与此同时,我们还将计算 机包纳入技术数学教学过程中,即将传统教学中 花费大量精力的人工积分、微分、微分方程初等 教学内容、教学手段及教学环节 解法、级数判定与求和等运算用数学软件包来完 成。改革“教师讲、学生听(记笔记)、做习题, 改习题,考试”的方式,在教学中适当插入讨论 课,教学效果会更好。首先,要使学生充分了解 这门课程的意义及学习方法,教师主要扮演一个 质疑的角色(当然答疑、讲解仍然是需要的)。 这样做首先是学生要独立学习一些材料,可增强 教学内容、教学手段及教学环节 独立学习能力,其次,通过自学和报告,学生能 很具体地了解这项题目的具体要求是什么,特别 是作为最后成果──论文──应怎么写。以学生 为主展开讨论,学生大多通过自学,对题目中将 会涉及到的数学、非数学知识有一个大概的了解 ,为了在讨论课上报告,也要求学生自己独立查 阅有关文献,也培养了能力。教师在讨论课上要 竭力提倡学生讨论、争辩、勇于提出自己想法的 教学内容、教学手段及教学环节 风气,这实质上是培养学生互相交流、互相学 习、互相妥协的能力,这些能力的培养对今后 的工作是极为重要的。至于考试,可以由教师 自己出题,也可以利用以前的题目,但一定要 严格按实战要求来做,主要是使学生有一个“磨 枪”的机会,看看在三天中能否完成任务,更重 要的是给学生一个考验自己临场应变能力 “想象”。 教学内容、教学手段及教学环节 (要独立查找文献、编制程序、论文写作等等)、 组织能力(如何分工合作,适当时候如何互相妥 协、互相支持、鼓励)的机会,从而对将来可能 从事的实际工作以及对自己的能力要求有一个比 较切合实际的“想象”。 返回 “数学建模”课程对学生能力的培养 数学建模类似于专业课程的毕业设计,对学生 来说,是一种综合练习,在相当程度上模拟了 大学生毕业以后的工作环境。不要求学生预先 掌握深入的专门知识,只需要学过普通的高等 数学课程,更主要的是要靠学生自己动脑子, 自己查找文献资料,同其他同学讨论研究,齐 心协力完成题目。因此,它对学生的能力培养 是多方面的。 应用已学到的数学进行分析、推 返回 “数学建模”课程对学生能力的培养 理、证明和计算的能力,并能学习一点新的数 学知识(若需要的话),并能理解合理的抽象 和简化,特别是进行数学分析的重要性。 “双 向翻译”的能力,即把经过一定抽象、简化的实 际问题用数学语言表达出来形成数学模型(即 数学建模的过程),对应用数学的方法进行推 演或计算得到的结果,能用“常人”能懂的“翻译” 语言表达出来。应用计算机及相应的各种数学 “数学建模”课程对学生能力的培养 软件包的能力。应变能力(即独立查阅文献资 料、消化和应用)的提高。在学习和竞赛中将 会涉及到数学、工程、经济、人文等各个方面 的知识,这就需要同学自己去查阅相关的资料、 文献,甚至要亲自到现场调研或向有关专家请 教。组织、协调、管理特别是及时妥协的能力 培养。在建模过程中的讨论、争辩,勇于提出 自己的想法,这实质上是培养学生相互交流、 “数学建模”课程对学生能力的培养 互相学习、互相妥协的能力,写作能力、创造 力、想象力的锻炼。发展联想能力。因为对于 不少完全不同的实际问题,在一定的简化层次 下,他们的数学模型是相同的或相似的,这正 是数学的广泛性的表现。这就要培养学生有广 泛的兴趣,多思考,勤奋踏实工作,通过熟能 生巧而达到触类旁通的境界。逐渐发展形成一 种洞察能力(或叫洞察力)。通俗的讲就是一 “数学建模”课程对学生能力的培养 眼就能抓住(或部分抓住)要点的能力。在实 际工作中需要具有较强洞察力的人来解决问题。 参加数学建模的学习和竞赛,是一项非常艰苦的 过程,每一个题目都面临新的困难和挑战,只有 意志坚强的人才能坚持到最后的胜利。 返回 “数学建模”概述
  • 从现实对象到数学模型
  • 建模示例一:椅子能在不平的地面上放稳吗?
  • 建模示例二:商人们怎样安全过河
  • 建模示例三:如何预报人口的增长
  • 建立数学模型的方法和步骤
  • 数学模型的特点和建模能力的培养
  • 数学模型的分类
  • 返回 “数学建模”课程的内容简介
  • 初等模型
  • 微分方程模型
  • 网络模型
  • 规划模型
  • 概率统计模型
  • 返回 “数学建模”课程的教学安排
  • 授课内容、方式和时间
  • 讨论课的模式及评价
  • 考试的内容、方式和成绩
  • 学生讨论的分组
  • 讨论题目的安排
  • 返回 “数学建模”课程的教学安排 “数学建模”的内在规律使得它的教学模式不同于传统的数学课程,在教学中,教师主要讲解各 种建模的思路和方法,布置一些建模题目,使学 生通过独立的分析、查阅资料、自学相关内容、 解答和验证,形成的建模论文,并在讨论课中作 出报告。在讨论课中,教师组织学生讲解自己的 建模论文和进行讨论,提倡学生讨论、争辩、勇 “数学建模”课程的教学安排 于提出自己想法,主要扮演一个质疑的角色(当 然答疑、教师还可以根据学生的意愿,按3至4人 一组,3至4组选择一个建模题目,安排每组的每 个学生在讨论课报告自己的建模论文并解答提问,另外两组负责对报告提问。类似于毕业论文答辩。教师根据每组能否完成建模论文,更重要的是看 学生临场应变能力(要独立查找文献、编制程序、 “数学建模”课程的教学安排 论文写作等等)、组织能力(如何分工合作,适 当时候如何互相妥协、互相支持、鼓励),从而 给每个人的平时成绩。 初等模型 战略核武器杀伤力模型 雨中行走问题 回首页 夫妻过河问题 市场平衡问题 上一页 铺瓷砖问题 动物形体问题 下一页 战略核武器杀伤力模型 美国和前苏联从60年代起就展开了激烈的核武 器竞争,在60年代初期,苏联主张武器往大型化方 向发展,其理由是武器的威力越大,杀伤力越强, 但美国有人提出应走提高武器精度的道路。他们 认为,虽然武器的威力越大,杀伤力越强,但武 器的杀伤力不只取决于威力,还与精度有关,如 果武器的威力大而精度低,其杀伤力未必就大 。反之,虽然威力小些但但精确度高,杀伤力也 可能大。因此,对于武器发展方向的争论异常 返回 激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 伤力的模型得出结论杀伤力K不仅与威力y有关, 而且与精确度C有关,经过大量得模拟试验,将 有关数据经过处理和分析,利用蒙特卡洛法拟合 K、 y 与c得函数关系为: 从模型可以推出提高精度合理。因而美国走提高 武器精度得道路。当时美国得核武器虽然比前苏 联小一些,而且数量也少一些,但美国的核武器 精度高而不惧怕前苏联。 战略核武器杀伤力模型 雨中行走问题激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀
  • 问题提出:人们外出行走途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢?
  • 问题的分析:严格来说此问题比较复杂,这里只讨论简单情形,只考虑人在雨中沿一条直线从一处向另一处行进时,雨的速度已知,人的速度多大才能使淋雨量最少。
  • 建立函数关系
  • 问题的解答
  • 返回 为了使问题解决时简单,适当选择坐标系,用激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 表示雨速, 表示人得的速度, 人体的外表比较复杂,我们设人体为长方体,其 前、侧、顶的面积之比为1:L:T .则单位时间淋 雨量为 总淋雨量为 其中 因此,雨中行走问题可抽象为如下数学问题: 已知 ,求 u为何值时R(u) 最小? 雨中行走问题 表示行走的距离,则行走的时间为 ,由于 夫妻过河问题激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 问题:有三对夫妻要过河,船最多能载二人,由 于封建意识严重,要求任一女子不能在丈夫不在 场的情况下与另外的男子在一起。如何安排三对 夫妻过河。 把问题转化为状态转移问题 用向量 表示有H个男子,W个女子在南岸 其中 一共有10个可取状态,它们是(0 ,0)、(0 ,1) (0 ,2) 、(0 ,3)、 (3 ,0)、 (3 ,1)、 (3 ,2)、 (3 ,3) (1 ,1)、 (2 ,2) 返回 其中m、n=0、1、2 运算向量为 夫妻过河问题激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 且 求由状态(3,3)经奇数次可取运算转移到 (0,0)的转移过程。步骤如下: 下面一步是将(3 , 2) , (3 , 1) , (2 , 2)分别雨运算 向量进行运算。如此下去经过11次可取运算后即 可完成。 市场平衡问题激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀(市场经济中的蛛网模型) 在自由贸易的集市上你注意过这样的现象吗: 一个时期由于猪肉的上市量远大于需求,销售不 畅导致价格下降,农民觉得养猪赔钱,于是转而 经营其它农副业。过一段时间后猪肉上市量大减, 供不应求导致价格上涨。原来的饲养户看到有利 可图又重操旧业,这样下一个时期会重现供大于 求、价格下降的局面。在没有外界干预的情况下 ,这种现象将如此循环下去。 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的。因为商品的价格是由消费者的求关系决定的,商品数量越多价格越低。而下一时期商品的数量由生产者的供应关系决定,商品价格越低生产的数量就越少 。这样的 需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实世界里这样的振荡会出现不同形式,有的振幅渐小趋向平衡, 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 f激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 g f g 图二 图一 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 图中折线激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 形似蛛网,于是这种用需求曲 线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经 济学中称蛛网模型。实际上,需求曲线f和供应 曲线g的具体形式通常示根据各个时段商品的数 量和价格的一系列统计资料 得到的。 一般地说, f取决于消费者对这种商品地需要程 度和他们的消费水平,g则与生产者的生产能力、 经营水平等因素有关。 一旦需求曲线和供应曲线被确定下来,如何 蛛网模型 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 的稳定性呢? 判断它们的交点— 从图中不难看出,当市场经济偏离 点不大 (即 较小)时, 点的稳定性取决于 f 和g 在 点的斜率。记f在 点的斜率的绝对值(因 为它是下降的)为 , ,则 g在 的斜率为 < 当 时 时 点是稳定的,而当 > 。由此可见,需求曲线越平,供应 点是稳定的 曲线越陡越有利于经济稳定。 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 者消费 水平低下,则 较小。 的数值反映生产经营者 返回 对商品价格的敏感程度,如果他们目光短浅, 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 热衷于追逐一时的高利润,价格稍有上涨立即大 量增加生产,那么 会比较大;反之,若他们素 质较高,有长远的计划,则 较小。 蛛网模型激烈,对于这个争论可以通过构造战略核武器杀 返回 (不论 多大),也总是稳定的。这相当于控制市场 上的商品数量,当供应量少于需求时,政府从外地收购 或调拨,投入市场;当供过于求时,政府收购过剩部分, 维持商品上市量不变。 蛛网模型 是令 ,即供应曲线竖直,于是不论需求曲线如何 返回 铺瓷砖问题 多大),也总是稳定的。这相当于控制市场
  • 问题:要拥40快方形瓷砖铺设如图所示的地面,
  • 但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形
  • 的两块。一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,
  • 结果始终无法完整铺好。
  • 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成如图所示的
  • 地面的可能性是否存在?
  • 为此,在图上白、黑相间地染色。然后仔细观察,
  • 发现共有19个白格和21个黑格。一块长方形瓷砖
  • 可盖住一白一黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖
  • 后(无论用什么方式),总要剩下2个黑格,唯一
  • 的办法是把最后一块长方形瓷砖一断为二。
  • 返回 铺瓷砖问题 多大),也总是稳定的。这相当于控制市场 铺瓷砖问题 多大),也总是稳定的。这相当于控制市场 解决此问题用奇偶校验法: 如果两个数都是奇数或偶数,则称具有相同的 奇偶性。如果一个数是奇数,另一个数是偶数, 则称具有相反的奇偶性。在铺瓷砖问题中,同色 的两个格子具有相同的奇偶性,异色两个格子具 有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有 相反奇偶性的一对方格。因此,把19块长方形瓷 砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有 相反的奇偶性时,才有可能把最后一块长方形瓷 砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性 。因此无法铺好。 动物形体问题 多大),也总是稳定的。这相当于控制市场
  • 问题的提出: 研究四足行走动物躯干的长度(不包括头和尾)与它的体重的关系,粗略地估计动物的体重,具有一定的现实意义。
  • 模型分析:把动物躯干与弹性粱联系起来
  • 模型建立:弹性理论
  • 模型求解
  • 模型检验
  • 返回 设动物躯干的几何尺寸如图所示。设 表示长度, d表示直径,A表示横截面面积,F表示体重,表 示动物躯干在自身体重作用下的最大饶曲。 假设动物躯干为一弹性梁,支撑在四肢上,由弹 性理论知最大饶曲 满足 因为 即 所以 (1) 表示动物躯干的相对下垂度。 d 表示长度, 如果太大,四肢将无法支撑躯干,动物的身 躯将会残废变形,如果 太小,四肢支撑身躯 超过了需要,无疑是一种浪费。由于长期进化的 结果, 应为一常数(该常数因动物种类而异) 由(1)式得 即较大的动物有较大的身躯 又从 ,将 代入得 说明动物的体重与躯干长度的四次方成正比。 微分方程模型 表示长度, 传染病传播的数学模型 放射性废物的处理问题 回首页 理查森军备竞赛理论 兰切斯特作战模型 上一页 掠俘问题 车辆贯行模型 下一页 生态学模型 微分方程稳定性知识简介 传染病传播的数学模型 表示长度, 生物医学中的数学模型分为两大类:传染病 传播的数学模型和疾病数学模型。 人们将传染病的统计数据进行处理和分析, 发现在某一民族或地区,某种传染病传播时,每 次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何 解释呢? 传染病传播时涉及的因素很多,如传染病人 的多少,易受传染者的多少,传染率的大小,排 返回 传染病传播的数学模型 表示长度, 除率的大小,人口的出生和死亡,还要考虑人员 的迁出和迁入,潜伏期的长短以及预防疾病的宣 传等因素,那么传染病的传播变的相当复杂。 S类:称为易感类。该类成员没有染上传染病, 但缺乏免疫力,可以被传染上疾病。 I类;称为传染类。I类成员已经染上了传染病, 而且可以传播给S类成员。 传染病传播的数学模型 表示长度, R类:称为排除类或恢复类,R类成员或者具有 免疫力或者从S类中被隔离等。 S(susceptible), I(infective), R(removed) 模型二:SI模型。 模型三:SIR模型。 rSI I 易感类S 传染类I 恢复类R 传染 恢复 放射性废物的处理问题 表示长度, 以前,美国原子能委员会为了处理浓缩的放 射性废物,他们把废物装人密封的圆桶,然后扔 到水深为91.5m的海里。一些生态学家和科学家 为此表示担心,圆桶是否会在运输过程中破裂而 造成放射性污染?几个工程师进行了大量的实验 以后发现:当圆桶的速度超过12.2m/s,就会因碰 撞而破裂。 返回 放射性废物的处理问题 表示长度, 选取坐标系,W:圆桶重量(使圆桶朝下) W=239.46kg , W=mg ,m表质量,g=9.8m/ B:水作用在圆桶上的浮力,推圆桶向上。 原子能委员会使用的是250.25L的圆桶,体 积为0.208 , 1 海水重量为1026.52kg 所以B=1026.52 0.208kg=213.5kg 放射性废物的处理问题 表示长度, D:水作用在圆桶上的阻力,它阻碍圆桶在水中 的运动,与物体运动方向相反,通常与速度成 正比。 D=cv,c>0为常数c=0.119。 通过大量实验得出结论:圆桶方位 对于阻力 影响甚小可以忽略不计。 放射性废物的处理问题 表示长度, F=W-B-cv 由牛顿第二定律:F=ma 而 (1) (2) 放射性废物的处理问题 表示长度, 其解为 由上式知,圆桶的速度为时间t的函数,要确定 圆桶同海底的碰撞速度,就必须算出圆桶碰到 海底所需的时间t。遗憾的是,不可能作为y的 显函数求出t,所以不能用上式求圆桶同海底的 碰撞速度。 而 表示长度, 放射性废物的处理问题 但 :为圆桶的极限速度 显然有 如果极限速度小于 12.2m/s,那么圆桶就不可能因同海底碰撞而 破裂。 放射性废物的处理问题 表示长度, 这个数值太大了,还不能断定 究竟能否 超过12.2m/s? 下面转而把速度v作为位置的函数v(y)来考虑. 我们有v(t)=v[y(t)],由复合函数微分法: (1)式 放射性废物的处理问题 表示长度, 即 (4) 初始条件为v(0)=0 即 放射性废物的处理问题 表示长度, 而: 不能从上式中解出v是y的显函数来,因此要利 用v(y)来计算v(91.5)>12.2m/s是不可能的了。 解法:1.微分方程数值解法(欧拉公式法,改进 的欧拉公式,龙格——库塔法) 得v(91.5)=13.75m/s 放射性废物的处理问题 表示长度, 解法2: 令c=0(即不考虑水的阻力),并用 u代替v,以 示区别,得 即 得 u(91.5) 13.94m/s 放射性废物的处理问题 表示长度, (1) 当不存在与运动方向相反的阻力时,圆桶的 速度总会大一些,v(91.5)<u(91.5). (2) 当y增加时,速度v增加,所以对于y 91.5, 有v(y) v(91.5)。由此可以得出水作用在 圆桶上的阻力 D总是小于0.119 u(91.5) 1.66kg 放射性废物的处理问题 表示长度, 然而使圆桶向下的合力(W-B)近似为25.9kg, 比D大得多,因而忽略D无关大局。所以可以认 为u(y)是v(y)的一个很好近似。因而得出:圆桶 能够因与海底碰撞而破裂。工程师们的说法是 对的。 返回 理查森军备竞赛理论 表示长度,
  • 问题的提出
  • 模型建立
  • 模型求解
  • 模型检验
  • 返回 兰切斯特作战模型 表示长度,
  • 正规战模型
  • 混合战模型
  • 游击战模型
  • 硫磺岛战役
  • 返回 掠俘问题 表示长度,
  • 问题的提出: 为什么第一次世界大战期间地中海捕获的鲨鱼的百分比急剧增加?
  • 模型建立:利用马尔萨斯生物总数增长定律。
  • 模型的推广
  • 返回 车辆 表示长度,贯行模型
  • 加州准则
  • 车流率-车流密度关系图
  • 一个典型问题的解
  • 有时迟的车辆贯行模型
  • 非线性车辆贯行模型
  • 返回 生态学模型 表示长度,
  • 单种群模型
  • 两种群相互作用的模型
  • 三个或多个种群的生态系统模型
  • 返回 ,称为自治系统。 表示长度, 右端不含 微分方程稳定性有关知识简介 若 使 , 则称 为方程组 的平衡点。 返回 上一页 下一页 微分方程稳定性有关知识简介 表示长度, 设 为 (1) 的平衡点,若对 的任意邻域 U ,存在 的一个属于U的邻域 ,使每一条 (1)的轨 线 对一切 ,都有 ,就称平衡点 是稳定的,否则就称为不稳定的。 。如果 稳定,并且有 就称平衡点 是渐近稳定的。 微分方程稳定性有关知识简介 表示长度, 为简单起见,不妨设 。若 , 不同时为 0 , 则可作代换 代入方程组 得 方程组 的平衡点即为 ,与 的平衡点 的稳定性相同。 返回 网络模型 表示长度, 回首页 图论的基本概念 最短路及 Dikstra算法 上一页 最小生成树及其算法 欧拉回路与中国邮递员问题 下一页 网络流及其应用 C 表示长度, D A B 一、图论的基本概念 哥尼斯堡是一座城市,位于Pregel 上,河中有 两个岛屿A与D,B与C是陆地.岛与岛及岛与陆地之 返回 图论的基本概念 表示长度, 间架设了七座桥梁.每逢节假日,当地人喜欢游玩, 于是有人提出一个问题:“能否从某地出发,走 遍七桥,只走一次,最后回到原来的地方?” 当时,很多人对这个有趣的问题做了大量的 试验均未成功。这就成了著名的哥尼斯堡问题。 瑞士数学家Euler 也致力于这一问题的研究, 并于1736年发表了图论的第一篇论文“哥尼斯 堡的七座桥”。 图论的基本概念 表示长度, 在文中欧拉创造性地将每一块陆地用一个点代 替,而将每一座桥用连接相应两点的一条线来 代替,从而得到了一个“图”这样,此问题就 变为“从图的某个顶点出发,经过每条线只一 次最后回到原来的地方”。由于每一次通过点 的边总是两条,即进入和离开该点,如果七桥 问题有解,则图中与每个点相连的边应该为偶 数条,而图中与各点相连的边都是奇数条,因 而七桥问题无解。 图论的基本概念 表示长度, 名词解释: 1.图G(V,E):由点的集合V和点与点之间的 连线的集合E所组成的集合。V中的元素称为节 点, E中的元素称 为边。节点集V与边集合E均 为有限的图称为有限图。 2.自圈:连接同一节点的边。 图论的基本概念 表示长度, 3.有向图:图中的边是有方向的。在有向图中, 顺向的首尾相接的一串边的集合称为有向路。 在无 向图中首尾相接的一串边的集合称为路。 路或有向路的表示法:用顺次的节点或边来表 示。 4.回路(圈):起点与终点为同一节点的路。 5.连通图:如果一个图中,任意两个节点之间都 存在一条路与之相连。 图论的基本概念 表示长度, 5.若一个连通图中不存在任何回路,则称为树。 树的性质: (1)树中任意两节点之间至多只有一条边。 (2)数中边数比节点数少1. (3)树中任意去掉一条边,就变为不连通图。 (4)树中任意添一条边,就会构成一个回路 画图 图论的基本概念 表示长度, 6.任意一个连通图或者是树,或者去掉一些边后 形成一棵 树,这棵树称为该连通图的生成树。 一般地,一个连通图的生成树可能不止一个。 , ,都赋一个数 9. 如果图中任一边 称这个数为该边的权数。赋以权数的图称为 赋权图。有向图上各边赋以权数后,称为有 向赋权图。根据不同的实际情况,权数的含 义可以各不相同。 图论的基本概念 表示长度, 例1.某仓库要存放n种化学药品,其中有些药品 彼此不能放在一起,因为相互之间可能引起 化学药物反应导致 危险,所以必须把仓库分 成若干区,各区之间相互隔 离。问至少应把 仓库分成多少隔离区,才能确保安全? 考虑几仅有七种药品的情况。用 分别表示七种药品,已知不能存放在一起的 药品 有: 图论的基本概念 表示长度, (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅱ) (1) (1) (Ⅲ) (Ⅱ) 最短路及 表示长度,Dikstra算法 例:8个城市 之间有一个公路网,每条 公路为图中的边,边上的权数表示通过该公 路所需的时间。设你处在城市 ,那么从 到其它各城市,应选择什么路径使所需 的时间最少? 返回 (1) 表示长度, (2) (6) (0) (6) (3) (4) (9) 最短路及Dikstra算法 2 3 1 5 7 1 2 8 3 7 3 4 2 4 6 4 6 到 表示长度, Dijkstra算法: 设S为节点集V的一个节点子集, 设 为S的节点余集。 若 为从 到 的最短路 则必有 ,使 为从 到 的最短路。 设 为从 的最短路 到 表示长度, Dikstra算法 令: 为从 的最短路的权数,A为V中任意 子集,则 为 到 的最短路的权数,则 , 最小生成树及其算法 表示长度, 一个连通的赋权图G,可能有很多生成树。设T 为图 G的一个生成树,若T中各边的权数相加, 则这个和数称为生成树T的权数。G的所有生成 树中,权数最小的生成树为G的最小生成树。 例:把n个城市用高压电缆连接起来建立一个电 网使所用的电缆长度之和最短,即费用最小 就是一个求最小生成树的问题。 返回 Kruskal 表示长度,算法(避圈法) 1. Kruskal算法(避圈法) (1)先把G中所有边按权数大小由小至大重新排 列,并取最小的一边为T中的边。 (2)然后每下一步从G中所留下的边中选出与前 次选出的诸边不构成回路的另一条最短的边。 这样继续下去至n-1条边选出为止。 边名 权 选出 表示长度, 1 1 2 2 2 3 3 3 4 2 表示长度, 3 1 5 7 1 2 8 3 3 4 2 4 6 4 6 7 7 欧拉回路与中国邮递员问题 表示长度, 欧拉回路 1.欧拉回路:设G(V,E)为一个图,若存在一 个回路,使它经过图中每条边且只 经过一次又回到起始节点,就称这 种回路为欧拉回路。 2.在一个图中,连接一个节点的边数称为该节点 的度数。 返回 3.定理:对 表示长度,G(V,E),下列条件是等价的: (1)G是一个欧拉图。 (2)G的每个节点的度数都是偶数。 (3)G的边集E可以分解为若干个回路的并。 4.定理:连通的有向图存在欧拉回路的充要条件 是对任意节点,进入该节点边数与离开该节点 的边数相等。 中国邮递员问题 表示长度, 邮递员所管辖的投递区每天 要送信,每次每条街巷至少要 经过一次,其中有些街道要经 一次以上。采取怎样的路径, 从每点出发,每条街巷至少经 过一次,而总行程最短呢? 返回 我国数学家管梅谷教授1962年写了一篇论文解 表示长度, 决了这个问题,国外图论著作中称为中国邮递 员问题。 用图论的术语,即在一个连通的G(V,E) 中,要寻 找一条回路,使包含G中每条边至少一 次,且该回路的 权数 最小。 本节的主要目标是解决存在奇度数节点的连通图 中寻找最小权数的回路的方法。 若图 表示长度,G有奇度数的节点,必为偶数个。 我们可以把奇节点划分为若干对。每对节点之 间G中有相应的最短路,将这些最短路画在一 起构成一个附加的边子集 ,这时 中连接两节点之间的边 多重图 不止一条。显然 是一个欧拉图,因而可以 求出 ,令 即把附加边子集 叠加在原 图G上形成一个 的欧拉回路。该欧拉回路不仅通过 表示长度,G中的每条 边,同时还要通过 中的每条边,且均仅一次。 邮递员问题的难点在于G的奇节点较多时,可能 有很多配对方法。应怎样选择 配对,能使相应 的附加边子集 的权数 最小? 定理: 表示长度, G(V,E)为一个连通的赋权图,则使附加边 子集 的权数 为最小的充要条件是 中任意边至多重复一次,且 中的任意回路中重复边的权数之和不大于该回 路总权数的一半。 (1)任取起始节点 表示长度, (2)设路 中选边 与 中的断边,即 Fleury算法: , 已选出,则从 使 相连,除非没有其它选择, 不应为 仍应连通。 3 表示长度, 2 3 2 2 3 4 4 3 3 3 1 1 2 3 3 例:已知邮递员问题要投递的街道如图所示,试求最优 邮路。 解:奇节点配对 , , 需调整! 3 表示长度, 2 3 2 3 2 4 2 2 3 4 4 3 3 1 3 3 2 3 1 1 3 2 3 3 2 2 4 1+4+3+3=11 11>10 1+3+4+3+2+2+3+2=20 3 3 1 2 3 表示长度, 2 3 3 2 2 3 4 4 2 2 3 3 3 3 1 1 2+3+2=7 2+3+2+3=10 7>5 2 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 4 2 3 2 3 3 1 1 3 2 3 3 网络流及其应用 表示长度,
  • 网络流与最大流最小截集定理
  • 最大流的算法
  • 网络流的应用
  • 返回 规划模型 表示长度, 回首页 上一页 线性规划 动态规划 下一页 线性规划 表示长度,
  • 线性规划的基本概念
  • 性规划问题的图解法
  • 单纯形法
  • 利用EXCEL解决输运问题
  • 利用EXCEL求解下料问题
  • 返回 利用 表示长度,EXCEL解决输运问题一 某工厂制造A,B两种产品,制造A每吨需用煤9吨,电力4千瓦,3个工作日;制造B每吨需用煤5吨,电力5千瓦,10个工作日。已知制造产品A和B每吨分别获利7000元和1200元,现在该厂由于条件限制,只有煤360吨,电力200千瓦,工作日300个可以利用,问A、B两种产品个应生产多少吨才能获利最大? 返回 利用 表示长度,EXCEL解决输运问题二 某两个煤厂A1、A2每月进煤数量分别为60顿和100吨,联合供应3个居民区B1、B2、B3。3个居民区每月对煤的需求量依次为50吨、70吨、40吨,煤厂A1离三个居民区B1、B2、B3的距离依次为10、5、6(千米),煤厂A2离三个居民区B1、B2、B3的距离依次为4、8、12(千米),文如何分配供煤量使得运输量达到最小? 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 一、 问题的引入 下料的最优化问题是现实生产活动中经常遇到的问题,EXCEL的规划求解是功能强大的优化 工具。它可以帮助我们使用最好的方法利用现有的资源,尽量达成想要的目标而避免不想要的目标,而不是一再的推测。下面通过用一个实例,来说明如何使用EXCEL来解决规划问题。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 某车间又一批长度为180厘米的钢管(数量充分多),今为制造零件,要截出三种不同长度的管料(毛坯):30厘米的、52厘米的及35厘米的。生产任务规定:三种了得需要量分别不少于100根、150根及100根。我们知道,截分钢管时不免要产生"边角料"。为节约原材料,应采取怎样的截法,才能在完成任务的前提下,使总的边角料达到最小限度? 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题
  • 分析这个问题,首先要弄清楚所有的可能截法。经过简单试算,克的下表所列地八种组合方式:
  • 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 单纯选择一种截法(如一、四)自然可以使边料较少,但未必能完成规定的任务。所以必须同时采用若干中截法配合起来,在完成任务的前提下,使总的边料长度为最小。 用x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8表示八种截法的采用的次数,用f表示边料得总长度,则 f=5*x1+6*x2+23*x3+5*x4+24*x5+6*x6+23*x7+5*x8 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 由上表可知,截出70厘米的管料的数目为:(2*x1+x2+x3+x4)根,按规定任务,它不得少于100根,即 2*x1+x2+x3+x4100 类似的有: 2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7150 x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+5*x8100 此外,还要求x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8均大于零且为整数。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 综上所述,问题归结为:在上述约束条件下,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8为何值时,函数f 达到最小值。 二、创建实例工作表 下面的工作表是为下料问题最优化二建立的简单模型,计算最优截法组合来产生在单元格B10里显示边料总长度最小,表中的许多内容是文字和常量数字。弱项建立字工作表,建如如下图所使得数字和文字为框架。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题
  • 然后输入以下公式:
  • 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 二、 求最优解 在模型里,要求的目标是在单元格B10里求出最小的边料总长度,八种截法的采用的次数输入值开始全部用0,规划求解工具得出的输入数值填写在B7:I7里。在解上的约束条件是J3:J5里计算的总和大于或等于K3:K5里的对应数值。 按以下步骤求出最优解: 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 1、 选定想要优化的单元格,在本例中,单元格是B10。 2、 选择工具(T),规划求解(V)命令。装入规划求解加载宏。 3、 在设置目标单元格文字框里,引用想要优化的单元格,在这里默认的是$B$10,不需改动。 4、 定义在设置目标单元格和解数值之间关系的类型,本例选定最小按钮。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 5、 选定可变单元格(B)对话框,接着选定规划求解尝试求最优答案使得可变单元格。对本例,单元格是$B$7:$I$7。可以键入输入值,用键盘选定每个单元格,或拖动鼠标穿过单元格。所需单元格不可见时,可以移动规划求解参数对话框或滚动条。 6、 选择添加(A)按钮来添加约束条件到约束条件列表。显示约束条件对话框。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 7、 输入第一个约束条件。在本例中是B7:I7里的值大于零。这个约束条件保证规划求截只考虑八种截法的采用的次数为正的解。 在单元格引用位置文字框里输入$B$7:$I$7,可以键入单元格引用,用键盘选定每个单元格,或拖动鼠标穿过单元格。所需单元格不可见时,可以移动添加约束条件对话框,或滚动工作表。 按Tab键,或单击向下箭头,到达运算符下拉列表。在本例中,选定关系>=符号。在约束值文字框里输入0。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 8、 选择添加按钮以便可以添加另一个约束条件。在本例中是B7:I7里的值为整数。这个约束条件保证规划求截只考虑八种截法的采用的次数为整数的解。 9、 选择添加按钮可以添加第三个约束条件。在本例中是J3:J5大于或等于K3:K5里的对应数值。 10、 选择确定按钮,将显示完成的规划求解参数对话框。 返回 利用 表示长度,EXCEL解决下料问题 11、 选择规划求解(S)按钮来运行规划求解,求解最优值。规划求解工具求出解时,将显示规划求解结果对话框。 12、 选择保存规划求解结果(K)按钮来保留提供的解,它显示在工作表里。选定恢复为原值按钮来犯回到原始工作表述值。在本例中,选定保存规划求解结果按钮并选择确定按钮。 返回 动态规划 表示长度,
  • 最短路问题
  • 动态规划法求解的数学模型
  • 机器负荷分配问题
  • 最小费用问题
  • 返回 机器负荷分配问题 表示长度, 某机器可以在高、低两种负荷下进行生产。高负荷下生产时,年产量为8,年折损率0.3,低负荷下生产时,年产量为5,年折损率0.1。假设开始时完好机器数为1000台,要制定一个五年计划,在每年开始是决定如何重新分配及其在两种负荷下工作的数量,使得产品五年的总产量最高。 返回 机器负荷分配问题 表示长度, 返回 最小费用问题 表示长度, 某工厂根据合同,每月某种货物的交货量如下表所示,该厂的生产能力为每月400件,仓库的存货能力为300件,已知工厂在开工生产该中货物的月份,固定成本为400元,每百件货物的生产成本核算10000元,仓库保管费为每百件每月1000元,假设开始时及6月末交货后无存货,试制订完成合同的费用最小的生产计划. 返回 最小费用问题 表示长度, 返回 概率统计模型 表示长度, 配对问题 机器任务的最优分配 回首页 高尔顿钉板试验 钓鱼问题 上一页 质量控制 子样容量的确定 下一页 铸件模型的工艺及配方优选 配对问题 表示长度,
  • 问题提出: 某人给他的N个朋友写信,写好后分别将各封信放入N个信封中,并在每一个信封上分别任意地写上N个收信人中的一
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