Matematicke metode u Fizickoj hemiji - ispitna pitanja 2017.

Description
Ispitna pitanja za istoimeni kurs na doktorskim studijama iz Fizicke hemije, Univerzitet u Beogradu.

Please download to get full document.

View again

of 2
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Documents

Publish on:

Views: 4 | Pages: 2

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
  Matematiˇcke metode u Fiziˇckoj hemiji - pitanja i zadaci za pismeni(2016/17.) Srdjan Vukmirovi´c7.02.2017. * bi´ce dodata pitanja iz oblasti parcijalnijh jednaˇcina ã  Kompleksna integracija–  Definicija holomorfne funkcije i Koˇsi-Rimanovi uslovi. Primer funkcije koja je holomorfna i koja nijeholomorfna. –  Definicija kompleksnog integrala duˇz krive. Primer:   γ dzz  gde je  γ   jediniˇcni krug. –  Njutn-Lajbnicova formula (tvrdjenje). Primer:   γ   z 2 dz , gde je  γ  ( t ) =  t 2 +  it, t  ∈  [0 , 1]. –  Koˇsijeva teorema (tvrdjenje i dokaz). Primer   γ   e z dz , gde je  γ   zatvorena kriva. –  Tejlorov red holomorfne funkcije u  z  =  z 0 . Redovi funkcija  e z ,  11 − z , (1+ z ) α za  z 0  = 0 i njihovi polupreˇcnicikonvergencije. –  Loranov red na prstenu. Glavni i Tejlorov deo. Primer po izboru. –  Izolovani singularitet holomorfne funkcije u  z  =  z 0  - vrste. Primer pola, otklonjivog i esencijalnog singular-iteta. –  Definicija reziduuma. Primer  Res ( f,z 0  = 0) ,f  ( z ) =  1 z .  Formula za rezidum u polu reda  m . Primer za polreda 3 . –  Integral po zatvorenog krivoj preko sume reziduuma - formula. Primer. ã  Specijalne funkcije–  Navesti Ermitovu DJ. Navesti neki (po ˇzelji) naˇcin za raˇcunanje Ermitovih polinoma i izraˇcunati prva tri. –  Navesti Lagerovu DJ. Navesti neki naˇcin za raˇcunanje Lagerovih polinoma i izraˇcunati prva tri. –  Definisati Γ funkciju. Dokazati: Γ( z  + 1) =  z Γ( z ) ,  Γ(1) = 1 ,  Γ( n  + 1) =  n ! . –  Dokazati Γ( 12 ) =  √  π . Izraˇcunati Γ( 52 ). –  Dokazati  Res (Γ ,z 0  =  − n ) =  ( − 1) n n !  . Skicirati Γ funkciju (realni deo). –  Definicija  β   funkciju. Veza Γ i  β   funkcije i primer te veze. –  Navesti Leˇzandrovu DJ. Navesti neki (po ˇzelji) naˇcin za raˇcunanje Leˇzandrovih polinoma i izraˇcunati prvatri. ã  Koordinatni sistemi–  Definicija regularnog koordinatnog sistema (i jakobijana). Primer - polarne koordinate. –  Cilindarski koordinatni sistem. Skica. Jakobijan. Koordinatne povrˇsi. –  Sferni koordinatni sistem. Skica. Jakobijan. Koordinatne povrˇsi. –  Povrˇsi drugog reda: jednaˇcine i skice. Cilindri. Konus. Elipsoid. Jednograni i dvograni hiperboloid.Eliptiˇcki paraboloid. Hiperboliˇcki paraboloid. –  Konfokalni elipsoidalni koordinatni sistem. Veza sa dekartovim. –  Laplasova jednaˇcina u polarnim koordinatama. Izvodjenje. –  Linijski, povrˇsinski i zapreminski element u cilindarskim koordinatama. Izvodjenje. ã  Varijacioni raˇcun 1  –  Minimizacija funkcionala  I  ( y ) =    L ( x,y,y  ) dx  i Ojler-Lagranˇzove jednaˇcine. Beltramijev oblik. Primer:Najkra´ce rastojanje u ravni se realizuje duˇz prave linije. –  Izvodjenje lanˇcanice OL jednaˇcinama. –  Izvodjenje brahistohrone OL jednaˇcinama. –  Geodezijske na sferi OL jednaˇcinama. –  Minimizacija uslovnog funkcionala. Primer: kriva sa fiksiranim krajevima, date duˇzine koja ograniˇcavanajve´cu povrˇsinu. ã  Parcijalne diferencijlne jednaˇcine 1. Ispitati da li su (i u kojoj oblasti) holomorfne funkcije a)  f  ( z ) =  e z b)  f  ( z ) =  z  + ¯ z  c)  f  ( z ) = sin z  d) f  ( z ) =  1 z  e)  f  ( z ) =  z 2 . Uputstvo: Koristiti Koˇsi-Rimanove jednaˇcine. c) izraziti sin z  preko  e z .2. Izraˇcunati   γ   z n dz ,  n  ∈  Z , gde je  γ  ( t ) =  e it ,t  ∈  [0 , 2 π ) jediniˇcni krug.3. Izraˇcunati    γ  zdz,  gde je  γ  ( t ) =  t  +  i ( t 3 + 1) ,t  ∈  [0 , 1]a) po definiciji kompleksnog integrala; b) primenom Njutn-Lajbnicove formule.4. a) Dokazati da je Tejlorov red funcije sin z  jednaksin z  = ∞  n =0 ( − 1) n  z 2 n +1 (2 n  + 1)!Sliˇcno za  e z i cos z. 5. Odrediti Loranov red funkcije  f  ( z ) =  e 1 z +  1 z − 2  na prstenovima sa centrom u  z 0  = 0 . 6. Odrediti singularitete i tip singulariteta slede´cih funkcija:a)  f  ( z ) = sin  1 z  b)  f  ( x ) =  sin2 xx  c)  f  ( z ) =  z ( z 2 − 5 z +6) 2 7. Izraˇcunati   k (0 , 2) zdzz 2 − 4 iz − 3  gde je  k (0 , 3) krug sa centrom u 0 i polupreˇcnikom 2 . 8. Izraˇcunati realne integralea)   ∞−∞ dx 1+ x 2  b)   ∞−∞ dx ( x 2 +1)( x 2 +3)  c)   ∞−∞ dx (1+ x 2 ) 2  (reˇsenje  π 2 ) d)   2 π 0cos3 t 5 − 4cos t dt  (reˇsenje  π 12 ) e)   2 π 0 dt 1+cos 2 t . Uputstvo: d) Nakon standardne smene integral je jednak  − 12 i   γ z 6 +1 z 3 (2 z − 1)( z − 2) dz , gde je  γ   jediniˇcni krug. Tajintegral se raˇcuna reziduumima podintegralne funkcije u polovima  z 0  =  12  i  z 0  = 0 koji su unutar  γ. 9. Koriste´ci Γ funkciju izraˇcunat:a)   ∞ 0 √  xe − 3 √  x dx  b)   ∞ 0  x 6 e − 3 x dx  c)   10 dx √ − lnx  d)   ∞ 0 x a a x dx  e)   ∞ 0  x m e − ax n dx, m,n,a >  0 . 10. Koriste´ci  β   funkciju izraˇcunat:a)   10  x 4 (1 − x ) 3 b)   30 x 2 dx √  3 − x  c)   a 0  y 4   a 2 − y 2 dy  d)    π 2 0  sin 6 θdθ  e)    π 2 0  sin 3 θ cos 5 θ. 11. Napisati Laplasovu jednaˇcinu u: a) cilidriˇcnom sistemu korodinata; b) sfernom sistemu koordinata.12. Koriste´ci formulu L n ( x ) =  e x  d n dx n ( x n e − x )izraˇcunati Lagerov polinom  L 3 ( x ) i dokazati da on zadovoljava Lagerovu DJ  xy   + (1  −  x ) y   +  ny  = 0 ,  zaodgovaraju´ce  n  ∈  N . 13. Analogno za Ermitov polinom  H  3 ( x ) i Leˇzandrov polinom  P  3 ( x ) . 2
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x